本來就這題目而言沒必要寫博客的，不過這個故事挺有意思的，所以還是記錄一下。
據說著名猶太曆史學家 Josephus有過以下的故事：在羅馬人佔領喬塔帕特後，39 個猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓到，於是決定了一個自殺方式，41個人排成一個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然後再由下一個重新報數，直到所有人都自殺身亡爲止。然而Josephus 和他的朋友並不想遵從。首先從一個人開始，越過k-2個人（因爲第一個人已經被越過），並殺掉第k個人。接着，再越過k-1個人，並殺掉第k個人。這個過程沿着圓圈一直進行，直到最終只剩下一個人留下，這個人就可以繼續活着。問題是，給定了和，一開始要站在什麼地方纔能避免被處決？Josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，於是逃過了這場死亡遊戲。
其一般形式爲：N個人圍成一圈，從第一個開始報數，第M個將被殺掉，最後剩下一個，其餘人都將被殺掉。
約瑟夫問題並不難，但求解的方法很多；題目的變化形式也很多。最容易想到的就是模擬殺人過程，代碼如下：
int Josephus(int n, int m)
{
//vector<bool>a(n);
bool*a = new bool[n]();
int f = 0, t = 0, s = 0;
do
{
if (t == n)
t = 0;//數組模擬環狀，最後一個與第一個相連
if (!a[t])
s++;//第t個位置上有人則報數
if (s == m)//當前報的數是m
{
s = 0;//計數器清零
cout << setw(3)<<t+1 << ' ';//輸出被殺人編號（setw需要包含頭文件iomanip）
a[t] = 1;//此處人已死，設置爲空
f++;//死亡人數+1
if (f % 5 == 0)cout <<endl;
}
++t;//逐個枚舉圈中的所有位置
} while (f != n-1);//直到所有人都被殺死爲止
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (a[i] == 0)t = i+1;
}
return t;
}
int main()
{
int k = Josephus(41, 3);
cout << "最後剩下:" << k;
}
不難發現，這其實是一個O(NM)時間複雜度的暴力解法，對於較大的MN來說效率極低。
想想，我們能否將其轉化爲遞歸問題呢？假設約瑟夫函數爲f(n,m)，即n個人，每數m個人就殺掉一個人，返回值爲最後剩下的那個人。問題就在於我們能否通過f(n-1,m)推出f(n,m)呢。
假設f(n-1,m)=k，要推出f(n,m)，我們之需要往f(n-1,m)的中再加一個人，那麼加在什麼位置呢？我們先假設加到n-1個人的後面，很明顯我們需要將最後加進去的這個人，調整爲第一次殺掉的那個人。那麼f(n,m)這個函數第一個殺掉的人就是第m個位置的人，此時這個人在最後的位置，因此我們將其+m之後對n取餘，與之對應的f(n-1,m)由k變爲了（k+m）%n。
也就是說：
最終剩下一個人時的安全位置肯定爲0，反推安全位置在人數爲n時的編號
人數爲1： 0
人數爲2： (0+m) % 2
人數爲3： ((0+m) % 2 + m) % 3
人數爲4： (((0+m) % 2 + m) % 3 + m) % 4
於是有了如下的遞推公式：
遞歸寫法：
int f(int n, int m) {
if (n == 1)
return 0;
int k = f(n - 1, m);
return (m + k) % n;
}
時間複雜度O(N)，空間複雜度O(N)
迭代寫法：
int f(int n, int m) {
int k = 0;
for (int i = 2; i != n + 1; ++i)
k = (m + k) % i;
return k;
}
時間複雜度O(N)，空間複雜度O(1)