“
Time Limit:1000MSMemory Limit:30000KB
Description
求n的階乘的最高位數。
例如：5! = 120,所以最高位爲1, 10!=3628800，所以最高位爲3
Input
每個數據包含一行,每行有一個整數N(0<=N<=10000000)
Output
對於每個測試數據，輸出n!的最高位數字
Sample Input
5
10
Sample Output
1
3
“
很顯然，不能先計算出階乘，然後再去階乘的最高位數字，因爲當n(=13)很小的時候，n!在32-bit的機器上就會溢出，即使在64-bit的機器上，要溢出也是很容易的事情(當n = 21時)。
第一種方法：
很自然地，想到Sterling公式：
， 也就是說當n比較大的時候有：
，且n越大，結果越精確，兩邊同時取常用對數：
，則其整數部分加1，爲n!的位數，比如
，其整數部分爲2，加1則等於3，這就說說明123是一個3位數。如果我們把整數部分去掉，那麼就相當於125除以100，因爲
，因此可以得知：
，也就是說
，對1.25向下取整，就可以很容易得到125這個數字的最高位數字1。
對於求n!的最高位數字，我們可以用同樣的方法：
n!的最高位 = 
，其中[]表示向下取整。
由於Sterling公式在n較小的時候存在一定的誤差，所以，在寫代碼時候，對於較小的n的階乘的最高位數字，可以採用直接輸出的方式，具體代碼如下：
#include<iostream>
#include<math.h>
using namespacestd;
const double PI =3.14159265358979;
const double E =2.71828459045;
int main(int argc,char *argv[])
{
int n = 0;
int firstnumber = 0;
double log_n_factorial = 0.0;
do
{
cin >> n;
log_n_factorial = 0.5 * log(2 * PI *(double)n) / log(10.0) + (double)n * log((double)n / E) / log(10.0);
log_n_factorial -=(int)log_n_factorial;
firstnumber = exp(log_n_factorial *log(10.0));
// 1. 用sterling公式計算較小數字的階乘的時候，存在比較大的誤差，隨着數字的增大誤差越來越小。
// 2. 用switch...case...處理幾個比較小的數字，其他的(見default)就均可以使用Sterling公式計算出來的結果了。
switch(n)
{
case 0:
cout << "1"<< endl;
break;
case 1:
cout << "1"<< endl;
break;
case 2:
cout << "2"<< endl;
break;
case 3:
cout << "6"<< endl;
break;
case 7:
cout << "5"<< endl;
break;
case 8:
cout << "4"<< endl;
break;
default:
cout << firstnumber <<endl;
}
}while(n != 0); // n = 0時退出循環
return 0;
}
第二種方法：
不使用Sterling公式，也可以求解。我們知道：
，兩邊也取常用對數：
其他的做法就和第一種方案類似了。很顯然，用這種方法求得的n!的對數是精確值，而不是用Sterling公式算出來的近似值，因此不需要像第一種方法那樣在計算較小的n的階乘時，直接返回結果。
代碼如下：
#include<iostream>
#include<math.h>
using namespacestd;
int main(int argc,char *argv[])
{
int n = 0, firstnumber = 0;
double log_n_factorial = 0.0;
do
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n;++i)
{
log_n_factorial +=log((double)i) / log(10.0);
}
log_n_factorial -=(int)log_n_factorial;
firstnumber =exp(log_n_factorial * log(10.0));
cout << firstnumber<< endl;
log_n_factorial = 0.0;
}while(n != 0); // n = 0時退出循環
return 0;
}
結論分析：
1. 第二種方法的計算性能儘管也很高，但第一種的計算性能要比第二種高很多，數字越大的時候越是如此。第一種算法的複雜度是一個常量，第二種算法的複雜度是線性的；
2. 第一種算法的結果是近似值，第二種算法的結果是相對精確值(僅受限於計算機的精度)
3. 由於C語言中沒有求常用對數的函數，因此用到了換底公式：
4. 推而廣之，如果要計算n!的前兩位數字，那麼僅需要將
log_n_factorial -= (int)log_n_factorial;這行代碼改爲：
log_n_factorial -= ((int)log_n_factorial - 1); 即可，當然首先要確定n!階乘的位數至少要有兩項。
如果要計算n!的前三、四…位數字，所用方法與上面描述的方法類似。