A1958

Magic Girl Haze

T組
n個點，m條有向含權邊，可以選擇不超過k條邊，將其權值變爲0.
問點1到點n的最短距離是多少？
$1\leq T \leq 5 \\ n \leq 10^5 \\ m \leq 2\times10^5 \\ k \leq 10 \\ w_i \leq 10^9$

二維狀態Dijkstra

原本dijkstra算法是dis[v],只有點的編號一個維度，dis[v]狀態表示的是1到v最短的距離。
現在令dis[k][v]表示恰好k條邊變0，點1到v最短的距離，狀態變爲二維
原本是$u$到$v$有邊就可以嘗試狀態轉移
現在是

1. $(k,u)$到$(k,v)$可以轉移,代價w；
2. $(k,u)$到$(k+1,u)$可以轉移，代價0；

正確性是顯然的：
對於狀態$k = k_0,\forall u(k,u)$,假設它們的初始值已經設置好了,則固定$k=k_0$，它們之間的轉移更新就是傳統的一維dijkstra,因此是正確的
$k = k_0,\forall u (k,u)$初始值本是無窮大， 但是$k=K_0-1$的狀態可以優化它們的初始值。

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int t;
ll n, m;
int k;
const int maxn = 1e+5 + 5;
const int maxm = 2e+5 + 5;
const int maxk = 10;
vector<int> ev[maxn];
vector<ll> ew[maxn];
// bool solved[maxk + 1][maxn];
bool vis[maxk + 1][maxn];
ll dis[maxk + 1][maxn];
struct vnd
{
    int v;
    ll dis;
    bool operator<(const struct vnd &obj) const
    {
        return dis > obj.dis;
    }
    void print() const {
        cout << "(v,dis) = "<<v<<","<<dis<<endl;
    }
};
priority_queue<vnd> q[maxk + 1];

void init()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for (int u = 1; u <= n; ++u)
    {
        ev[u].clear();
        ew[u].clear();
    }
    int u, v, w;
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        cin >> u >> v >> w;
        ev[u].push_back(v);
        ew[u].push_back(w);
    }
    // memset(solved, false, sizeof(solved));
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    for (int i = 0; i <= k; ++i)
        q[i] = priority_queue<vnd>();
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        init();
        bool first = true;
        ll ans;
        vis[0][1] = true;
        dis[0][1] = 0;
        int u, v;
        ll w;
        for (int i = 0; i <= k; ++i)
        {
            // push visited vertices into queue
            for (int u = 1; u <= n; ++u)
                if (vis[i][u]) {
                    q[i].emplace(vnd{u,dis[i][u]});
                }
            while (!q[i].empty())
            {
                vnd t = q[i].top();
                q[i].pop();
                u = t.v;
                for (size_t j = 0; j < ev[u].size(); ++j)
                {
                    v = ev[u][j];
                    w = ew[u][j];
                    // do not change w
                    if (!vis[i][v])
                    {
                        vis[i][v] = true;
                        dis[i][v] = t.dis + w;
                        q[i].emplace(vnd{v,dis[i][v]});
                    }
                    else if (dis[i][v] > t.dis + w)
                    {
                        dis[i][v] = t.dis + w;        
                        q[i].emplace(vnd{v,dis[i][v]});
                    }
                    // change w to 0
                    if (i + 1 > k)
                        continue;
                    if (!vis[i + 1][v])
                    {
                        vis[i + 1][v] = true;
                        dis[i + 1][v] = t.dis;
                    }
                    else if (dis[i + 1][v] > t.dis)
                    {
                        dis[i + 1][v] = t.dis;
                    }
                }
            }
            if (vis[i][n])
            {
                if (first)
                {
                    first = false;
                    ans = dis[i][n];
                }
                else
                {
                    ans = min(ans, dis[i][n]);
                }
            }
        }
        // the input ensure: first == false
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}