lucas定理 模板 學習筆記

lucas定理

$\tbinom{n}{m} \bmod p = \tbinom{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor} \tbinom{n \bmod p}{m \bmod p} \bmod p=\tbinom{n/p}{m/p}\tbinom{n\%p}{m\%p} \bmod p$

先預先求出$i! \;(i \in \left[0,p\right))$.
並利用費馬小定理和快速冪乘求出每一個$i!$的逆元$(i!)^{-1}$。求$\tbinom{n}{m} \bmod p$，當$m=0$直接就是$1$.若$n,m$都在$p$範圍內，則直接轉化爲$n! \times (m!)^{-1} \times [(n-m)!]^{-1}$.否則就是lucas定理縮小規模。

[對一個固定的p，預處理求階乘及快速模冪求其逆元，時間複雜度$O(p\log_2{p})$。空間複雜度$O(p)$。預處理之後，單次求$\tbinom{n}{m} \bmod p$複雜度$O(\log_{p}{m})$]{}

洛谷P3807模板題

void prepare(ll p, vector<ll>&fac, vector<ll>&inv_fac) {
    fac.resize(p); inv_fac.resize(p);
    mod_sys mod;
    mod.set_mod(p);
    fac[0] = 1;
    inv_fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < p; ++i) {
        fac[i] = (fac[i-1]*i)%p;
        inv_fac[i] = mod.pow(fac[i], p-2); // 既然能枚舉一遍，p*p不應該爆ll
    }
}

// 輸入預設0=<n,m<p
inline ll combination(ll n, ll m, ll p, vector<ll>&fac, vector<ll>&inv_fac) {
    if (n < m) return 0;
    return fac[n]*inv_fac[m]%p*inv_fac[n-m]%p;
}

ll lucas(ll n, ll m, ll p, vector<ll>&fac, vector<ll>&inv_fac) {
    if (n < m) return 0;
    ll ans = 1;
    while(true) {
        if (m == 0) return ans;
        if (n < p && m < p) return ans*combination(n,m,p,fac,inv_fac)%p;
        ans = ans * combination(n%p,m%p,p,fac,inv_fac)%p;
        n/=p; m/=p;
    }
}