[编程之美] 2.2 不要被阶乘吓倒

原創

2020-07-07 23:06

这一节给出了关于阶乘的两个问题，当然，并不是求阶乘的值，而是求阶乘的值的一些特性。

问题1：给定一个整数N，那么N的阶乘N! 末尾有多少个0？

如果将N! 的结果求出来，然后再计算末尾0的个数，那就要考虑是否会溢出，计算时间也要考虑。

这里的思路：考虑哪些数相乘能得到10。将结果表示成N! = K * pow(10, M)，然后对N! 进行因式分解，只有2 * 5会得到10，那么N! 的末尾的0的个数就是因式分解后2和5的幂的最小值。由于整数中出现2的倍数的频率比出现5的频率低，因此，结果就可以直接等于5的幂。

解法一直接处理1到N所有的数，对于每个数，求出它的5的幂。

解法二就要细说了：

将结果表示为[N/5] + [N/pow(5, 2)] + [N/pow(5, 3)] +...，也就是说，5的倍数贡献一个5，pow(5, 2)的倍数再贡献一个5，pow(5, 3)的倍数再贡献一个5。

再来看看源代码：

ret = 0;
while(N) {
	ret += N / 5;
	N /= 5;
}

N/5就能够得到1到N中有多少个5的倍数，然后再N /= 5，也就是N / 25，即pow(5, 2)的倍数贡献的5的个数。

问题2：求N! 的二进制表示中最低位1的位置。

要求阶乘的二进制表示中最低位1的位置，其实就是求N! 的二进制表示中末尾有多少个0，也即N! 含有质因数2的个数。

对上面一句话的理解：如果N!含有n个2的乘积，那么，N!必定可以通过右移n-1位使得最后一位不为1，因此，就是寻找N!含有质因数2的个数。

由问题一有：[N/2] + [N/pow(2, 2)] + [N/pow(2, 3)] + ...。

对上面一句的理解：N/2得到的是1到N中2的倍数的个数（也就是2，4，6，8等等），N/pow(2, 2)得到的就是1到N中4的倍数的个数（也就是4，8，12，16等等），后面的依次类推。

那么将上述代码中的5换成2即可，还可以将除以2的操作换成位移。

问题二的解法二在书中只给了个小例子，没有证明，就不多说了，不过如果采用这种方法倒是可以用上2.1中求二进制表示中1的数目。