伽罗瓦理论（4）

伽罗瓦理论（1）
伽罗瓦理论（2）
伽罗瓦理论（3）
这部分开始利用前面的理论得到一些推论。

五次以上的一般多项式方程不是根式可解的

考虑特征为0的域$F$, $n$次的一般多项式为
$f(x)=x^n-t_1x^{n-1}+\cdots+(-1)^nt_n\in F(t_1,\cdots, t_n)[x]$

当$n\geq 5$时，方程$f(x)=0$的解不能全部用域$F(t_1,\cdots,t_n)$上的有限根式表达出来。原因在于此时对称群$S_n$不可解。

下面我们说明伽罗瓦群$G=Gal(F(x_1,\cdots,x_n)/F(t_1,\cdots,t_n))$同构于对称群$S_n.$首先，此扩张是Galois扩张。其次，根据超越扩域的超越维数，知道$F[x_1,\cdots,x_n]$与$n$变元的多项式环同构,于是$S_n$与$x_1,\cdots,x_n$之间的置换群同构，在同构意义下，可以认为$S_n\subset G$。根据Galois对应，我们只需要说明$F(x_1,\cdots,x_n)^{S_n}=F(t_1,\cdots,t_n)$。

对于任何有理分式$f=g/h\in F(x_1,\cdots,x_n)$，如果$\sigma(f)=f,\forall \sigma\in S_n$. 变形得$f=g\prod_{\tau\neq id}\tau(h)/\prod_\tau \tau(h):=p/q$，则$q$为对称多项式，上下同时用$\sigma$作用，得到$\sigma(f)=\sigma(p)/q=f$，于是$\sigma(p)=p$，从而$f$是两个对称多项式的商。因为任何对称多项式都在$F[t_1,\cdots,t_n]$中，因此，$f\in F(t_1,\cdots,t_n)$。

由此，因为交错群$A_n\subset S_n$是非交换单群（参考Milne的群论讲义COROLLARY 4.37 ），于是也就必定不可解，所以$S_n$也不可解，从而五次以上的一般多项式方程不是根式可解的。