[leetcode 63] 不同路径 II（Python 动态规划+滚动数组优化）

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: [ [0,0,0], [0,1,0], [0,0,0] ]
输出: 2
解释:
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：

1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths-ii

解题思路

我们用 $f(i, j)$ 来表示从座标 $(0, 0)$ 到座标 $(i, j)$ 的路径总数，$u(i, j)$ 表示座标 $(i, j)$ 是否可行，如果座标 $(i, j)$ 有障碍物，$u(i, j) = 0$，否则 $u(i, j) = 1$。

因为机器人每次只能向下或者向右移动一步，所以$(0, 0)$ 到座标 $(i, j)$ 的路径总数的值只取决于从座标 $(0, 0)$ 到座标 $(i - 1, j)$ 的路径总数和从座标 $(0, 0)$ 到座标 $(i, j - 1)$ 的路径总数，即 $f(i, j)$ 只能通过 $f(i - 1, j)$ 和 $f(i, j - 1)$ 转移得到。

当座标 $(i, j)$ 本身有障碍的时候：任何路径都到到不了 $f(i, j)$，此时 $f(i, j) = 0$。
当座标 $(i, j)$ 没有障碍的时候：如果座标 $(i - 1, j)$ 没有障碍，那么就意味着从座标 $(i - 1, j)$ 可以走到 $(i, j)$ ，即 $(i - 1, j)$ 位置对 $f(i, j)$ 的贡献为 $f(i - 1, j)$ ；同理，当座标 $(i, j - 1)$ 没有障碍的时候，$(i, j - 1)$ 位置对 $f(i, j)$ 的贡献为 $f(i, j - 1)$ 。

综上所述，我们可以得到这样的动态规划转移方程：
$f(i, j)=\left\{\begin{aligned} 0, & u(i, j)=0 \\ f(i-1, j)+f(i, j-1), & u(i, j) \neq 0 \end{aligned}\right.$
由于这里 $f(i, j)$ 只与 $f(i - 1, j)$ 和 $f(i, j - 1)$ 相关，我们可以运用滚动数组思想把空间复杂度优化称 $O(m)$。

滚动数组思想是一种常见的动态规划优化方法，在题目中已经多次使用到，例如「剑指 Offer 46. 把数字翻译成字符串」、「70. 爬楼梯」等，当定义的状态在动态规划的转移方程中只和某几个状态相关的时候，就可以考虑这种优化方法，目的是给空间复杂度「降维」。

- 复杂度分析

• 时间复杂度：$O(nm)$，其中 $n$ 为网格的行数，$m$ 为网格的列数。我们只需要遍历所有网格一次即可。
• 空间复杂度：$O(m)$。利用滚动数组优化，我们可以只用 $O(m)$ 大小的空间来记录当前行的 $f$ 值。

代码实现

class Solution(object):
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
        """
        :type obstacleGrid: List[List[int]]
        :rtype: int
        """
        m = len(obstacleGrid)
        n = len(obstacleGrid[0])
        dp = [1] + [0]*(n-1)
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if j == 0:
                    dp[j] = 0 if obstacleGrid[i][j] else dp[j]
                else:
                    dp[j] = 0 if obstacleGrid[i][j] else dp[j] + dp[j-1]
        return dp[-1]

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Tips

怎么想到用动态规划来解决这个问题呢？我们需要从问题本身出发，寻找一些有用的信息，例如本题中：

• $(i, j)$ 位置只能从 $(i - 1, j)$ 和 $(i, j - 1)$ 走到，这样的条件就是在告诉我们这里转移是 无后效性 的，$f(i, j)$ 和任何的 $f(i', j')(i' > i, j' > j)$ 无关。
• 动态规划的题目分为两大类，一种是求最优解类，典型问题是揹包问题，另一种就是计数类，比如这里的统计方案数的问题，它们都存在一定的递推性质。前者的递推性质还有一个名字，叫做 最优子结构 ——即当前问题的最优解取决于子问题的最优解，后者类似，当前问题的方案数取决于子问题的方案数。所以在遇到求方案数的问题时，我们可以往动态规划的方向考虑。
  通常如果我们察觉到了这两点要素，这个问题八成可以用动态规划来解决。

根据官方题解总结。

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$Author: Chier$