【算法】leetcode 837. 新21点（理清思路，动态规划）

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• 837. 新21点

837. 新21点
爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？



示例 1：

输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
示例 2：

输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
示例 3：

输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278


提示：

0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。

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大佬解析

• 还有比这更简单的题解吗？填格子游戏开始

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代码

"""
需求分析：
    爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：
        爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。
        当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 
    爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？
    
思路：
    假设 dp[x] 为她手上牌面为x时，能获胜的概率，那么这个概率应该是：dp[x]=1/w * (dp[x+1]+dp[x+2]+dp[x+3]...+dp[x+w])
    因为抽取的牌面机会都是均等的，她能抽取的面值在 [1,W] 之间，所以将概率之和平均一下就是 dp[x] 的概率。

    强插一段解释：
        x代表爱丽丝手上的牌面值，dp[x]代表爱丽丝手上持有的牌面值为x时，她获胜的概率（游戏结束时她所持牌面值小于等于N的概率）。
        这个概率是怎么来的？x分2种情况:

        当x>=K时，爱丽丝会停止抽牌，这个时候游戏已经结束了，她是赢是输也已经确定了，所以此时赢的概率要么1，要么0
        当x<K时，爱丽丝会继续抽牌，抽牌是有概率的，所以她是赢是输也有概率。
        她能抽到的牌面值在 [1,W] 之间，所以抽完后她的牌面在[x+1,x+w]之间，因为每张牌机率均等，所以抽完后牌面在[x+1,x+w]之间的每个面值概率都是相等的，而假如我们已知当牌面是[x+1,x+w]的胜率(即dp[x+1]...dp[x+w]的值)，那么可以推导：
        dp[x]=1/w * dp[x+1]+ 1/w * dp[x+2] + 1/w * dp[x+3]...+ 1/w * dp[x+w]
        这个实际上就是动态规划的状态转移方程，不过本例是反着来转移的。
        
    x 最多能到 K-1，因为当大于等于 K 时，爱丽丝会停止抽牌，所以当游戏结束时，即爱丽丝停止抽牌时，她可能达到的最大牌面是 K+W-1，而一开始她的牌面是 0，所以我们用一个长度为 K+W 的 dp 数组来保存她在所有面值下的胜率。
    最后 dp[0]，也就是最开始爱丽丝还没有抽牌，她的牌面为 0 时的胜率，这个就是我们的答案。

"""


class Solution:
    def new21Game(self, N: int, K: int, W: int) -> float:
        dp_arr = [-1] * (K + W)
        s = 0
        for i in range(K, K + W):
            dp_arr[i] = 1 if i <= N else 0
            s += dp_arr[i]

        for i in range(K - 1, -1, -1):
            dp_arr[i] = s / W
            s = s - dp_arr[i + W] + dp_arr[i]
        return dp_arr[0]