P3376 【模板】網絡最大流（Dinic模板）

最大流目前瞭解兩種算法，一個是ek(n * m^{2)，一個是dinic(n}2 * m)。dinic算得上是ek的升級版。

對於最大流算法，網上有很多優秀的解釋，這裏就說自己做題的過程中遇到的一些問題。

在實際運用中，dinic有很多小優化。有一個優化只是一條語句，但對時間影響巨大。下面給出ac代碼。
（我的代碼用了vector[]存圖，實際上有用三個int[]存圖的做法）

#pragma warning(disable:4996)
#pragma warning(disable:6031)
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

constexpr int MAXN = 200;
constexpr int MAXF = 2147483647;

typedef struct _EDGE {
    int v;
    int r; // r = f - c
    int i_redge;
}EDGE;

int N, M, S, T;
vector<EDGE> edges[MAXN];
unsigned char vis[MAXN];
unsigned int layer[MAXN];

void bfs();
long long dfs(int s, int t, int now);
long long dinic();

int main()
{
    freopen("lg9.txt", "r", stdin);

    // tmep
    int i;
    int u, v, f, iu, iv;
    EDGE e = { 0, 0, 0 };
    // v
    long long ans;

    // input

    scanf("%d %d %d %d", &N, &M, &S, &T);
    S--; T--;

    for (i = 0; i < M; i++) {
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &f);
        u--; v--;
        iu = edges[u].size(); iv = edges[v].size();

        e.v = v; e.r = f; e.i_redge = iv;
        edges[u].push_back(e);

        e.v = u; e.r = 0; e.i_redge = iu;
        edges[v].push_back(e);
    }

    // count

    ans = dinic();

    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}

void bfs()
{
    queue<int> que;
    int i, l, n, u, v;
    EDGE e;
    memset(vis, 0, N);
    memset(layer, 0, N);

    vis[S] = 1;
    layer[S] = 1;
    que.push(S);

    while (!que.empty()) {
        u = que.front();
        que.pop();

        n = edges[u].size();
        l = layer[u] + 1;
        for (i = 0; i < n; i++) {
            if (edges[u][i].r == 0)
                continue;

            v = edges[u][i].v;

            if (vis[v])
                continue;

            vis[v] = 1;
            layer[v] = l;
            que.push(v);
        }
    }
}

long long dfs(int s, int t, int now)
{
    int i, l1, n, v;
    int sub_flow;
    long long flow = 0;

    // end
    if (s == t)
        return now;

    n = edges[s].size();
    l1 = layer[s] + 1;
    for (i = 0; i < n && now; i++) { // && now 優化1
        v = edges[s][i].v;
        if (layer[v] == l1 && edges[s][i].r) { // edges[s][i].r 優化2
            sub_flow = dfs(v, t, min(now, edges[s][i].r));
            if (sub_flow) {
                edges[s][i].r -= sub_flow;
                edges[v][edges[s][i].i_redge].r += sub_flow;
                now -= sub_flow;
                flow += sub_flow;
            }
            else {
                layer[v] = 0; // = 0 優化3
            }
        }
    }

    return flow;
}

long long dinic()
{
    long long ans = 0;

    while (true) {
        bfs();
        if (!vis[T])
            break;
        ans += dfs(S, T, MAXF);
    }

    return ans;
}

首先最重要的優化肯定就是當前弧，一般來說實現方式是用變量記錄當前遍歷到那個邊，我沒試過這種方法，這裏參考了下面列出的一篇文章，直接去掉dfs的提前返回來達到同樣目的。

然後接下來有三個優化，實際上都算是dfs剪枝。

第二個優化在邊比較少的圖中有時可以起到時間減半的效果，其目的是當下一條弧已經沒有剩餘流量時，就不向這條弧dfs下去了。

第一個優化在邊多的圖中我測試出有一定效果，是洛谷討論區的dalao分享的一個點。其目的來到當前點的那條弧已經沒有流量時，當前點就沒必要繼續dfs下去了。

第三個優化在邊多的圖中很有效果，如果不加的話，在後面的輪次中，許多弧已經沒有流量，變成了稀疏圖，bfs出來的層次也非常深，此時時間會飛速上升。剪枝的原因是sub_flow代表從下一條弧出發到終點的所有可能路徑的最大流之和，如果爲0就代表走點v這條弧以後最大流爲0，也就是說，v到終點實際上已經走不通了。所以接下來同級的遍歷也不需要經過v了，根據初始條件，所有點layer>=1，==1是起點，只有>=2的點有機會被遍歷，設置爲0就可以達到不讓任何點走進點v的目的。

參考

求解最大流的四種算法介紹、利用最大流模型解題入門syddf-CSDN博客最大流算法
(參考文章遵循 CC 4.0 BY-SA 版權協議，轉載請附上原文出處鏈接和本聲明。)