貝葉斯定理太有用了，不管是在投資領域，還是機器學習，或是日常生活中幾乎都在用到它。
例如，生命科學家用貝葉斯定理研究基因是如何被控制的；教育學家意識到，學生的學習過程其實就是貝葉斯法則的運用；基金經理用貝葉斯法則找到投資策略；谷歌用貝葉斯定理改進搜索功能，幫助用戶過濾垃圾郵件；無人駕駛汽車接收車頂傳感器收集到的路況和交通數據，運用貝葉斯定理更新從地圖上獲得的信息；人工智能、機器翻譯中大量用到貝葉斯定理...
我將從以下4個角度來科普貝葉斯定理及其背後的思維：
1.貝葉斯定理有什麼用？
2.什麼是貝葉斯定理？
3.貝葉斯定理的應用案例
4.生活中的貝葉斯思維
1.貝葉斯定理有什麼用？
英國數學家托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）在1763年發表的一篇論文中，首先提出了這個定理。而這篇論文是在他死後才由他的一位朋友發表出來的。
（ps：貝葉斯定理其實就是下面圖片中的概率公式，這裏先不講這個公式，而是重點關注它的使用價值，因爲只有理解了它的應用意義，你纔會更有興趣去學習它。）
在這篇論文中，他爲了解決一個“逆概率”問題，而提出了貝葉斯定理。
在貝葉斯寫這篇文章之前，人們已經能夠計算“正向概率”。什麼是正向概率呢？舉個例子，杜蕾斯舉辦了一個抽獎，抽獎桶裏有10個球，其中2個白球，8個黑球，抽到白球就算你中獎。你伸手進去隨便摸出1顆球，摸出是中獎球的概率是多大。
根據頻率概率的計算公式，你可以輕鬆的知道中獎的概率=中獎球數（2個白球）/球總數（2個白球+8個黑球）=2/10
如果還不懂怎麼算出來的，可以看我之前寫的科普概率的回答：猴子：如何理解條件概率？
而貝葉斯在他的文章中是爲了解決一個“逆概率”的問題。比如上面的例子我們並不知道抽獎桶裏有什麼，而是摸出一個球，通過觀察這個球的顏色，來預測這個桶裏裏白色球和黑色球的比例。
這個預測其實就可以用貝葉斯定理來做。貝葉斯當時的論文只是對“逆概率”這個問題的求解嘗試，這哥們當時並不清楚這裏面這裏麪包含着的深刻思想。
然而後來，貝葉斯定理席捲了概率論，並將應用延伸到各個領域。可以說，所有需要作出概率預測的地方都可以見到貝葉斯定理的影子，特別地，貝葉斯是機器學習的核心方法之一。
爲什麼貝葉斯定理在現實生活中這麼有用呢？
這是因爲現實生活中的問題，大部分都是像上面的“逆概率”問題。因爲生活中絕大多數決策面臨的信息都是不全的，我們手中只有有限的信息。既然無法得到全面的信息，我們就只能在信息有限的情況下，儘可能做出一個好的預測。
比如天氣預報說，明天降雨的概率是30%，這是什麼意思呢？
我們無法像計算頻率概率那樣，重複地把明天過上100次，然後計算出大約有30次會下雨（下雨的天數/總天數）
而是隻能利用有限的信息（過去天氣的測量數據），用貝葉斯定理來預測出明天下雨的概率是多少。
同樣的，在現實世界中，我們每個人都需要預測。想要深入分析未來、思考是否買股票、政策給自己帶來哪些機遇、提出新產品構想，或者只是計劃一週的飯菜。
貝葉斯定理就是爲了解決這些問題而誕生的，它可以根據過去的數據來預測出未來事情發生概率。
貝葉斯定理的思考方式爲我們提供了有效的方法來幫助我們做決策，以便更好地預測未來的商業、金融、以及日常生活。
總結下第1部分：貝葉斯定理有什麼用？
在有限的信息下，能夠幫助我們預測出概率。
所有需要作出概率預測的地方都可以見到貝葉斯定理的影子，特別地，貝葉斯是機器學習的核心方法之一。例如垃圾郵件過濾，中文分詞，艾滋病檢查，肝癌檢查等。
2.什麼是貝葉斯定理？
貝葉斯定理長這樣：
到這來，你可能會說：猴子，說人話，我一看到公式就頭大啊。
其實，我和你一樣，不喜歡公式。我們還是從一個例子開始聊起。
我的朋友小鹿說，他的女神每次看到他的時候都衝他笑，他現在想知道女神是不是喜歡他呢？
誰讓我學過統計概率知識呢，下面我們一起用貝葉斯幫小鹿預測下女神喜歡他的概率有多大，這樣小鹿就可以根據概率的大小來決定是否要表白女神。
首先，我分析了給定的已知信息和未知信息：
1）要求解的問題：女神喜歡你，記爲A事件
2）已知條件：女神經常衝你笑，記爲B事件
所以，P(A|B)表示女神經常衝你笑這個事件(B)發生後，女神喜歡你（A）的概率。
從公式來看，我們需要知道這麼3個事情：
1）先驗概率
我們把P(A)稱爲"先驗概率"（Prior probability），也就是在不知道B事件的前提下，我們對A事件概率的一個主觀判斷。
對應這個例子裏就是在不知道女神經常對你笑的前提下，來主觀判斷出女神喜歡一個人的概率。這裏我們假設是50%，也就是不喜歡你，可能不喜歡你的概率都是一半。
2）可能性函數
P(B|A)/P(B)稱爲"可能性函數"（Likelyhood），這是一個調整因子，也就是新信息B帶來的調整，作用是將先驗概率（之前的主觀判斷）調整到更接近真實概率。
可能性函數你可以理解爲新信息過來後，對先驗概率的一個調整。比如我們剛開始看到“人工智能”這個信息，你有自己的理解（先驗概率-主觀判斷），但是當你學習了一些數據分析，或者看了些這方面的書後（新的信息），然後你根據掌握的最新信息優化了自己之前的理解（可能性函數-調整因子），最後重新理解了“人工智能”這個信息（後驗概率）
如果"可能性函數"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先驗概率"被增強，事件A的發生的可能性變大；
如果"可能性函數"=1，意味着B事件無助於判斷事件A的可能性；
如果"可能性函數"<1，意味着"先驗概率"被削弱，事件A的可能性變小。
還是剛纔的例子，根據女神經常衝你笑這個新的信息，我調查走訪了女神的閨蜜，最後發現女神平日比較高冷，很少對人笑，也就是對你有好感的可能性比較大（可能性函數>1）。所以我估計出"可能性函數"P(B|A)/P(B)=1.5（具體如何估計，省去1萬字，後面會有更詳細科學的例子）
3）後驗概率
P(A|B)稱爲"後驗概率"（Posterior probability），即在B事件發生之後，我們對A事件概率的重新評估。這個例子裏就是在女神衝你笑後，對女神喜歡你的概率重新預測。
帶入貝葉斯公式計算出P(A|B)=P(A)* P(B|A)/P(B)=50% *1.5=75%
因此，女神經常衝你笑，喜歡上你的概率是75%。這說明，女神經常衝你笑這個新信息的推斷能力很強，將50%的"先驗概率"一下子提高到了75%的"後驗概率"。
在得到概率值後，小鹿自信滿滿的發了下面的表白微博：
稍後，果然收到了女神的回覆。預測成功。
現在我們再看一遍貝葉斯公式，你現在就能明白這個公式背後的關鍵思想了：
我們先根據以往的經驗預估一個"先驗概率"P(A)，然後加入新的信息（實驗結果B），這樣有了新的信息後，我們對事件A的預測就更加準確。
因此，貝葉斯定理可以理解成下面的式子：
後驗概率（新信息出現後的A概率） ＝ 先驗概率（A概率） ｘ 可能性函數（新信息帶來的調整）
貝葉斯的底層思想就是：
如果我能掌握一個事情的全部信息，我當然能計算出一個客觀概率（古典概率）。
可是生活中絕大多數決策面臨的信息都是不全的，我們手中只有有限的信息。既然無法得到全面的信息，我們就在信息有限的情況下，儘可能做出一個好的預測。也就是，在主觀判斷的基礎上，你可以先估計一個值（先驗概率），然後根據觀察的新信息不斷修正(可能性函數)。
如果用圖形表示就是這樣的：
其實阿爾法狗也是這麼戰勝人類的，簡單來說，阿爾法狗會在下每一步棋的時候，都可以計算自己贏棋的最大概率，就是說在每走一步之後，他都可以完全客觀冷靜的更新自己的概率值，完全不受其他環境影響。
3.貝葉斯定理的應用案例
前面我們介紹了貝葉斯定理公式，及其背後的思想。現在我們來舉個應用案例，你會更加熟悉這個牛瓣的工具。
爲了後面的案例計算，我們需要先補充下面這個知識。
1.全概率公式
這個公式的作用是計算貝葉斯定理中的P(B)。
假定樣本空間S，由兩個事件A與A'組成的和。例如下圖中，紅色部分是事件A，綠色部分是事件A'，它們共同構成了樣本空間S。
這時候來了個事件B，如下圖：
全概率公式：
它的含義是，如果A和A'構成一個問題的全部（全部的樣本空間），那麼事件B的概率，就等於A和A'的概率分別乘以B對這兩個事件的條件概率之和。
看到這麼複雜的公式，記不住沒關係，因爲我也記不住，下面用的時候翻到這裏來看下就可以了。
案例1：貝葉斯定理在做判斷上的應用
有兩個一模一樣的碗，1號碗裏有30個巧克力和10個水果糖，2號碗裏有20個巧克力和20個水果糖。
然後把碗蓋住。隨機選擇一個碗，從裏面摸出一個巧克力。
問題：這顆巧克力來自1號碗的概率是多少？
好了，下面我就用套路來解決這個問題，到最後我會給出這個套路。
第1步，分解問題
1）要求解的問題：取出的巧克力，來自1號碗的概率是多少？
來自1號碗記爲事件A1，來自2號碗記爲事件A2
取出的是巧克力，記爲事件B，
那麼要求的問題就是P(A1|B)，也就是取出的是巧克力（B），來自1號碗（A1）的概率
2）已知信息：
1號碗裏有30個巧克力和10個水果糖
2號碗裏有20個巧克力和20個水果糖
取出的是巧克力
第2步，應用貝葉斯定理
1）求先驗概率
由於兩個碗是一樣的，所以在得到新信息（取出是巧克力之前），這兩個碗被選中的概率相同，因此P(A1)=P(A2)=0.5,(其中A1表示來自1號碗，A2表示來自2號碗)
這個概率就是"先驗概率"，即沒有做實驗之前，來自一號碗、二號碗的概率都是0.5。
2）求可能性函數
P(B|A1)/P(B)
其中，P(B|A1)表示從1號碗中(A1)取出是巧克力(B)的概率。
因爲1號碗裏有30個巧克力和10個水果糖，所以P(B|A1)=巧克力數（30）/(糖果總數30+10)=75%
現在貝葉斯公式裏只剩P(B)了，只有求出P(B)就可以得到答案。
根據全概率公式，可以用下圖求得P(B)：
圖中P(B|A1)是1號碗中巧克力的概率，我們根據前面的已知條件，很容易求出。
同樣的，P(B|A2)是2號碗中巧克力的概率，也很容易求出（圖中已給出）。
而P(A1)=P(A2)=0.5
將這些數值帶入公式中就是小學生也可以算出來的事情了。最後P(B)=62.5%
所以，可能性函數P(B|A1)/P(B)=75%/62.5%=1.2。
可能性函數>1.表示新信息B對事情A1的可能性增強了。
3）帶入貝葉斯公式求後驗概率
將上述計算結果，帶入貝葉斯定理，即可算出P(A1|B)=60%
這個例子中我們需要關注的是約束條件：抓出的是巧克力。如果沒有這個約束條件在，來自一號碗這件事的概率就是50%了，因爲巧克力的分佈不均把概率從50%提升到60%。
現在，我總結下剛纔的貝葉斯定理應用的套路，你就更清楚了，會發現像小學生做應用題一樣簡單：
第1步. 分解問題
簡單來說就像做應用題的感覺，先列出解決這個問題所需要的一些條件，然後記清楚哪些是已知的，哪些是未知的。
1）要求解的問題是什麼？
識別出哪個是貝葉斯中的事件A（一般是想要知道的問題），哪個是事件B（一般是新的信息，或者實驗結果）
2）已知條件是什麼？
第2步.應用貝葉斯定理
第3步，求貝葉斯公式中的2個指標
1）求先驗概率
2）求可能性函數
3）帶入貝葉斯公式求後驗概率
案例2：貝葉斯定理在醫療行業的應用
每一個醫學檢測，都存在假陽性率和假陰性率。假陽性，就是沒病，但是檢測結果顯示有病。假陰性正好相反，有病但是檢測結果正常。
即使檢測準確率是99%，如果醫生完全依賴檢測結果，也會誤診。也就是說假陽性的情況，根據檢測結果顯示有病，但是你實際並沒有得病。
舉個更具體的例子，因爲艾滋病潛伏期很長，所以即便感染了也可能在很長的一段時間，身體沒有任何感覺，所以艾滋病檢測的假陽性會導致被測人非常大的心理壓力。
你可能會覺得，檢測準確率都99%了，誤測幾乎可以忽略不計了吧？所以你覺得這人肯定沒有患艾滋病了對不對？
讓我們用貝葉斯定理算一下，就會發現你的直覺是錯誤的。
假設某種疾病的發病率是0.001，即1000人中會有1個人得病。現在有一種試劑可以檢驗患者是否得病，它的準確率是0.99，即在患者確實得病的情況下，它有99%的可能呈現陽性。它的誤報率是5%，即在患者沒有得病的情況下，它有5%的可能呈現陽性。
現在有一個病人的檢驗結果爲陽性，請問他確實得病的可能性有多大？
好了，我知道你面對這一大推信息又頭大了，我也是。但是我們不是有貝葉斯模板套路嘛，下面開始。
第1步，分解問題
1）要求解的問題：病人的檢驗結果爲陽性，他確實得病的概率有多大？
病人的檢驗結果爲陽性（新的信息）記爲事件B，他得病記爲事件A，
那麼要求的問題就是P(A|B)，也就是病人的檢驗結果爲陽性（B），他確實得病的概率(A)
2）已知信息
這種疾病的發病率是0.001，即P(A)=0.001
試劑可以檢驗患者是否得病，準確率是0.99，也就是在患者確實得病的情況下(A)，它有99%的可能呈現陽性(B)，所以P(B|A)=0.99
試劑的誤報率是5%，即在患者沒有得病的情況下，它有5%的可能呈現陽性。得病我們記爲事件A，那麼沒有得病就是事件A的反面，記爲A'，所以這句話就可以表示爲P(B|A')=5%
2.應用貝葉斯定理
1）求先驗概率
疾病的發病率是0.001，即P(A)=0.001
2）求可能性函數
P(B|A)/P(B)
其中，P(B|A)表示在患者確實得病的情況下(A)，試劑呈現陽性的概率，從前面的已知條件中我們已經知道P(B|A)=0.99
現在只有求出P(B)就可以得到答案。根據全概率公式，可以用下圖求得P(B)=0.05094
所以可能性函數P(B|A)/P(B)=0.99/0.05094=19.4346
3）帶入貝葉斯公式求後驗概率
我們得到了一個驚人的結果，P(A|B)等於1.94%。
也就是說，篩查的準確率都到了99%了，通過體檢結果有病（陽性）確實得病的概率也只有1.94%
你可能會說，再也不相信那些吹的天花亂墜的技術了，說好了篩查準確率那麼高，結果篩查的結果對於確診疾病一點用都沒有，這還要醫學技術幹什麼？
沒錯，這就是貝葉斯分析告訴我們的。我們拿艾滋病來說，由於發艾滋病實在是小概率事件，所以當我們對一大羣人做艾滋病篩查時，雖說準確率有99%，但仍然會有相當一部分人因爲誤測而被診斷爲艾滋病，這一部分人在人羣中的數目甚至比真正艾滋病患者的數目還要高。
你肯定要問了，那該怎樣糾正測量帶來這麼高的誤診呢？
造成這麼不靠譜的誤診的原因，是無差別地給一大羣人做篩查，而不論測量準確率有多高，因爲正常人的數目遠大於實際的患者，所以誤測造成的干擾就非常大了。
根據貝葉斯定理，我們知道提高先驗概率，可以有效的提高後驗概率。
所以解決的辦法倒也很簡單，就是先鎖定可疑的人羣，比如10000人中檢查出現問題的那10個人，再獨立重複檢測一次。因爲正常人連續兩次體檢都出現誤測的概率極低，這時篩選出真正患者的準確率就很高了，這也是爲什麼許多疾病的檢測，往往還要送交獨立機構多次檢查的原因。
這也是爲什麼艾滋病檢測第一次呈陽性的人，還需要做第二次檢測，第二次依然是陽性的還需要送交國家實驗室做第三次檢測。
在《醫學的真相》這本書裏舉了個例子，假設檢測艾滋病毒，對於每一個呈陽性的檢測結果，只有50%的概率能證明這位患者確實感染了病毒。但是如果醫生具備先驗知識，先篩選出一些高風險的病人，然後再讓這些病人進行艾滋病檢查，檢查的準確率就能提升到95%。
案例4：貝葉斯垃圾郵件過濾器
垃圾郵件是一種令人頭痛的問題，困擾着所有的互聯網用戶。全球垃圾郵件的高峯出現在2006年，那時候所有郵件中90%都是垃圾，2015年6月份全球垃圾郵件的比例數字首次降低到50%以下。
最初的垃圾郵件過濾是靠靜態關鍵詞加一些判斷條件來過濾，效果不好，漏網之魚多，冤枉的也不少。
2002年，Paul Graham提出使用"貝葉斯推斷"過濾垃圾郵件。他說，這樣做的效果，好得不可思議。1000封垃圾郵件可以過濾掉995封，且沒有一個誤判。
因爲典型的垃圾郵件詞彙在垃圾郵件中會以更高的頻率出現，所以在做貝葉斯公式計算時，肯定會被識別出來。之後用最高頻的15個垃圾詞彙做聯合概率計算，聯合概率的結果超過90%將說明它是垃圾郵件。
用貝葉斯過濾器可以識別很多改寫過的垃圾郵件，而且錯判率非常低。甚至不要求對初始值有多麼精確，精度會在隨後計算中逐漸逼近真實情況。
（ps：如果留言想詳細瞭解這個知識的很多，我後面會專門寫文章來回答大家）
4.生活中的貝葉斯思維
貝葉斯定理與人腦的工作機制很像，這也是爲什麼它能成爲機器學習的基礎。
如果你仔細觀察小孩學習新東西的這個能力，會發現，很多東西根本就是看一遍就會。比如我3歲的外甥，看了我做俯臥撐的動作，也做了一次這個動作，雖然動作不標準，但也是有模有樣。
同樣的，我告訴他一個新單詞，他一開始並不知道這個詞是什麼意思，但是他可以根據當時的情景，先來個猜測（先驗概率/主觀判斷）。一有機會，他就會在不同的場合說出這個詞，然後觀察你的反應。如果我告訴他用對了，他就會進一步記住這個詞的意思，如果我告訴他用錯了，他就會進行相應調整。（可能性函數/調整因子）。經過這樣反覆的猜測、試探、調整主觀判斷，就是貝葉斯定理思維的過程。
同樣的，我們成人也在用貝葉斯思維來做出決策。比如，你和女神在聊天的時候，如果對方說出“雖然”兩個字，你大概就會猜測，對方後面九成的可能性會說出“但是”。我們的大腦看起來就好像是天生在用貝葉斯定理，即根據生活的經歷有了主觀判斷（先驗概率），然後根據蒐集新的信息來修正（可能性函），最後做出高概率的預測（後驗概率）。
其實這個過程，就是下圖的大腦決策過程：
所以，在生活中涉及到預測的事情，用貝葉斯的思維可以提高預測的概率。你可以分3個步驟來預測：
1.分解問題
簡單來說就像小學生做應用題的感覺，先列出要解決的問題是什麼？已知條件有哪些？
2. 給出主觀判斷
不是瞎猜，而是根據自己的經歷和學識來給出一個主觀判斷。
3.蒐集新的信息，優化主觀判斷
持續關於你要解決問題相關信息的最新動態，然後用獲取到的新信息來不斷調整第2步的主觀判斷。如果新信息符合這個主觀判斷，你就提高主觀判斷的可信度，如果不符合，你就降低主觀判斷的可信度。
比如我們剛開始看到“人工智能是否造成人類失業”這個信息，你有自己的理解（主觀判斷），但是當你學習了一些數據分析，或者看了些這方面的最新研究進展（新的信息），然後你根據掌握的最新信息優化了自己之前的理解（調整因子），最後重新理解了“人工智能”這個信息（後驗概率）。這也就是胡適說的“大膽假設，小心求證”。
概率的基礎知識補充：
參考資料：
YouTube英文視頻《Thomas Bayes: Probability for Success》
YouTube英文視頻《Everything You Ever Wanted to Know About Bayes' Theorem But Were Afraid To Ask.》
貝葉斯垃圾郵件過濾器：http://www.paulgraham.com/spam.html
貝葉斯垃圾郵件過濾Wiki：https://en.wikipedia.org/wiki/Naive_Bayes_spam_filtering
