問小妞「3 + 3 等於幾？」。小妞自信地答道「4」😔。我想了下，可能是∵小朋友現在只有「後繼」的概念，而沒有「加法」的概念，∴第一反應是「3 的後繼是 4」。@pan🍳 說，也可能是你們經常問「1 + 1 = ?」。久了之後得出「n + n = n + 1」的謬論。似乎也有道理。但，還不夠本質。
在讀 @伍鴻煕 的《數學家講解小學數學》。讀這本書只想搞明白一件事：「數學結構」究竟長什麼樣？
爲什麼 22 ≠ 2 + 2 ？
∵這兩個 2 其實是不一樣的，前一個 2 是在「十位」上的 2 ，而後一個 2 則是在「個位」上。從結構的視角看，，即在以
爲基的空間上的線性組合 / 座標。
不要覺得這個問題很傻，羅馬數字可就是「不區分位置」的邏輯哦：XXII = 10 + 10 + 1 + 1 。
爲什麼能用 0 ~ 9 表示任意數？
解法的核心是「一一對應」。現在，我們只有 0 ~ 9 這十個符號，分別對應 0 ～ 9 。
| 符號 | 數量 |
|---|---|
| 0 | 🤷🏻♂️ |
| 1 | 🐑 |
| 2 | 🐑🐑 |
| 3 | 🐑🐑🐑 |
| 4 | 🐑🐑🐑🐑 |
| 5 | 🐑🐑🐑🐑🐑 |
| 6 | 🐑🐑🐑🐑🐑, 🐑 |
| 7 | 🐑🐑🐑🐑🐑, 🐑🐑 |
| 8 | 🐑🐑🐑🐑🐑, 🐑🐑🐑 |
| 9 | 🐑🐑🐑🐑🐑, 🐑🐑🐑🐑 |
第一步，我們可以約定一個順序一一對應十以內的數。
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
那麼十以上怎麼辦？
第二步，利舊。比如，還是運用「一一對應」的思想，我們可以把「四十二」表示成這樣：
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
但是太麻煩。
第三步，引入第二個維度。
0: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
1: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
3: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
4: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
5: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
6: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
7: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
9: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
現在可以用座標來表示一百以內的數了：四十二 = 。
那一百以上怎麼辦？總不能接着增加維度吧？一千以內還好吧，立方體內的座標，搞定。但一萬以內的數咋辦？四維座標？
第四步，把二維壓縮爲一維。
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
第五步，故伎重演：利舊。
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
第六步，引入新維度：
0: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
1: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
2: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
3: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
4: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
5: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
6: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
7: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
8: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
9: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ... 98, 99.
以此類推。這就是「爲什麼僅用十個字符就能表示無窮個數字」的原因。
而這個解釋遠比第一眼看到的深邃，∵它給出了一個數學演化推進的超 mini 模型：總是在已有的基礎上前進一點點，最後推進至無遠弗屆。用項老的話說就是「逐步漸進，以簡馭繁」。
爲什麼 314 比 214 大 100 ？
知道了上述結構，這個問題就迎刃而解了。觀察 314 和 214 ，後兩位一模一樣，區別僅在於百位上的數字。即其他維度的座標是相同的，僅百位這個維度的座標從 2 跳到了 3 。而百位這個維度是以 爲基的。
練習：調整基得到不同的進制計數法
現在可以很自然地引出「加法」了
214 + 123 就是從 214 開始：
- 先在百位上跳一步，來到 314 ；
- 接着在十位上跳兩步，來到 334 ；
- 再在個位上跳三步，來到 337 。
最牛逼的成語故事
之前讀 @金觀濤 的《控制論與科學方法論》，知道了「曹衝稱象」的本質是「共軛控制」😱。當時覺得，這可能是最有內涵的成語故事了。可之後聽 @項武義 講「從算術到代數」，才知道：「韓信點兵」纔是那個站在內涵鏈頂端的成語😱😱😱。強烈建議大家去聽項老的講課視頻。
韓信事先算出一組基：
以及 。現在就可以用
到劉邦面前嘚瑟了😏。
假設韓信的部隊在 2000 人上下，現在讓 7 人一組剩 3 ，11 人一組剩 4 ，13 人一組剩 8 。那麼 ，接着不斷減 1001 找一個最接近 2000 的數就行（用項老的話說是「一個大將之才，誤差超過 1001，那還做什麼大將呢」🤣）。可爲什麼呢？
想起讀本科的時候，問過抽象代數老師一個問題：中國剩餘定理 & Lagrange 插值定理之間有什麼聯繫呢？現在想來，兩者都是利用某組空間基底的線性組合，但本質居然是「分配律」😱。項老的眼光就是毒啊！