原创 函數項級數
一致收斂性 在一個數項級數中，每個項都是一個常數：\(a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots\)。現在有一系列數項級數，我們可以把每一項都看作是關於某個自變量\(x\)的函數\(a_i(x)\)，這樣我們也得到一個“級數”\(a
2023-05-20 13:13:09
原创 洛瓦茲篩
洛瓦茲局部引理 給定一個“壞事件”的集合\(\mathcal{B}=\{B_1,\cdots,B_m\}\)，其中\(\Pr[B_i]<1\)。當我們希望一個壞事件都不發生的時候，我們等價於希望有壞事件發生的概率\(<1\)，即\(\Pr[
2023-05-18 13:13:11
原创 二階矩方法
二階矩，方差，切比雪夫不等式 我們可以驗證如果兩個隨機變量\(X,Y\)是獨立的，那麼一定滿足\(E[X\cdot Y]=E[X] \cdot E[Y]\)。只需根據定義把右側表示出來，\(E[X] \cdot E[Y]\)\(=\left
2023-05-17 13:13:11
原创 概率方法
Tournament 我們再來看一個類似Ramsey Number的例子，它同樣也體現了當\(n\)足夠大時某個結構一定會出現這一性質。 Tournament Graph是一張有向圖\(G(V,E)\)，其中任何兩個點之間都有且僅有一條有向
2023-05-12 13:13:16
原创 氣體分子動理論
現在開始討論一個新的課題：從“物質由大量原子組成，它們之間存在着電相互作用，並遵從力學定律”這種物理觀點出發，我們企圖瞭解爲什麼不同的原子集合會表現出它們所具有的特色。這是一個困難的課題，它和力學和電學有着很大的不同：在學習力學和電學的過程
2023-05-02 13:13:13
原创 初始日語
我是2023年1月開始學日語的，距今已經四個月了。準確地說，2022年夏天的時候我已經認識50音圖的平假名了，但開始正式地學語法是今年纔開始的。學日語給我的生活帶來了很多樂趣， 尤其是當我在動漫裏聽到一句複雜的話而發現自己居然能分析出它的語
2023-04-19 13:13:39
原创 重積分
面積（測度） 我們在一元時已經建立了定積分的概念，並用“曲邊梯形的面積”這一幾何意義來理解它。我們知道定積分其實是Riemann和的極限，那麼我們很容易自然地把它推廣到多元函數——二元函數的積分應當表示“曲頂主體的體積”等等。 我們在推廣時
2023-04-15 13:13:13
原创 圖的最短路
圖的廣度優先搜索 在DFS中，一旦發現一個新節點就會立即執行從它開始的遞歸，這個算法一開始執行就會離源點越來越遠，因此稱爲“深度優先”。這種搜索方式與“棧”後進先出的特性是相同的，我們甚至可以避免遞歸而用“棧”來實現圖的深度優先搜索。 與“
2023-04-01 13:13:20
原创 轉動
二維空間中的轉動 質心 我們想要同時研究不止一個質點的運動學。在質點系的運動學裏，除了牛頓定律的組合以外，沒有任何新的東西。 當我們把一串木塊拋到空中時，儘管每個木塊都將做着複雜的運動，但我們能大概描繪出整串木塊沿拋物線運動。那究竟是什麼在
2023-03-22 13:14:01
原创 KMP與AC自動機
字符串匹配的基本方法就是，逐位移動模式串，檢查當前位置是否匹配。似乎只有這樣才能夠不遺漏地檢查所有可能匹配上的情況。容易發現，這樣做的複雜度是\(O(nm)\)的。而事實是，我們可以做到比這更好。 KMP 我們來考慮我們基本做法中的一個環節
2023-03-14 13:13:15
原创 小球裝箱問題
小球裝箱問題 小球裝箱問題：有\(k\)個球，裝進\(n\)個箱子裏，問有幾種方案？分別討論球是否相同，箱子是否相同，每個箱子至少一個、至多一個、沒有限制，共12種不同情況。 第一種：球不同，箱子不同，沒有限制 我們對球討論，每個球都獨立地
2023-02-27 13:13:55
原创 組合證明
Double Counting 如果數同一個東西有兩種不同的數法，那麼兩種數法的表達式對應的結果必然相等。這樣的組合證明方法叫做Double Counting。 \(\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbi
2023-02-27 13:13:55
原创 數的算法
爲了更方便的表示一個數，我們通常要選擇一個進制。數\(N\)在\(a\)進制下需要\(\log_a N\)位，在\(b\)進制下需要\(\log_b N\)，二者的比值\(\log_b^a\)是常數。因此我們可以認爲，對進制的選擇是不影響算
2023-02-24 13:13:43
原创 多元函數的極限與連續
Euclid空間 對向量定義了加法和數乘，滿足對加法和數乘封閉以及八條基本性質的空間稱爲線性空間。在線性空間的基礎上定義兩個向量的內積運算並滿足正定律、交換律和分配律這三條性質的空間稱爲內積空間。在線性空間的基礎上，定義向量的範數並滿足正定
2023-02-21 13:18:30
原创 C++中的class
用class qxz{ };定義一個類，其中private:以下的每一行都是私有成員，而public:以下的每一行都是公有成員（兩者可以反覆交叉出現多次）。私有成員只能被自己類中的成員函數訪問，而公有成員可以被外部訪問。 一般只把非常簡單的
2022-12-21 13:13:09