淺談 多柱漢諾塔問題

衆所周知，漢諾塔問題很經典。
這裏用DP可以解決n 個塔m 個柱子的移動次數問題
當然想要輸出步驟也可以

我們回憶一下只有三根柱子的情況：

先把n−1 個盤子移到第二根柱子上，再把剩下的那一個盤子移到第三根柱子，最後再把n−1 個盤子移到第三根柱子上。
如果我們用Fn 來表示移動（三根柱子時）n 個盤子的最小步數，按照上面的敘述，則有：
Fn=2×Fn−1+1
這樣一個遞推式，不寫出它的通項公式是2n−1 。
我們再考慮四根柱子的情況。
我們按照同樣的思路，考慮到底是先留幾個盤子，先移幾個盤子。我們設留下r 個盤子，移動n−r 個盤子把他們放到第三根柱子上，再用剩下的三根柱子把移動剩下的r個盤子移動到第4根柱子上。我們同樣用Fn 來表示移動n個盤子的最小步數，就有這樣一個式子：
Fn=min(2×Fn−r+2r−1)
同樣的，如果定義dp[i][j] 爲把i個盤子移動到j根柱子的最小步數，就有：
dp[i][j]=min(2×dp[i−r][j]+dp[r][j−1]),1<=r<=i
關於初值，無疑dp數組要賦+inf，對於邊界，也就是n=1,m=1,n=2,m=2 的情況也要分別計算

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
long long f[70][70];
int main() 
{
    freopen("hanoi.in","r",stdin);
    freopen("hanoi.out","w",stdout);
    memset(f,-1,sizeof(f));
    for (int i=1;i<65;++i) 
    f[1][i]=1;
    for (int i=2;i<64;++i) 
    {
        for (int j=3;j<=i+1;++j)
        for (int k=1;k<i;++k) 
        {
            if (f[k][j]==-1||f[i-k][j-1]==-1) continue;
            long long temp=(f[k][j]<<1)+f[i-k][j-1];
            if (f[i][j]==-1||f[i][j]>temp) f[i][j]=temp;
        }
        for (int j=i+2;j<65;++j) f[i][j]=f[i][j-1];
    }
    scanf("%d%d",&n,&m);
    printf("%lld\n",f[n][m]);
    return 0;
}