單變量微積分（03）：Limits and Continuity

1. 極限

簡單的極限，我們可以通過直接代入法求解，如：

limx→3x2+xx+1=3

我們知道我們在利用極限求導數時：

limx→x0ΔfΔx=limx→x0f(x0+Δx)−f(x0)Δx

如果直接用代入法的話，會出現分母爲0的情況。

2. 連續

連續的定義：

We say f(x) is continuous at x0 when

limx→x0f(x)=f(x0)

四類不連續點

1. Removable Discontinuity

Right-hand limit: limx→x+0f(x) means limx→x0f(x) for x>x0 .
Left-hand limit: limx→x−0f(x) means limx→x0f(x) for x<x0 .

If limx→x+0f(x)=limx→x−0f(x) but this is not f(x0) , or if f(x0) is undefined, we say the discontinuity is removable.

比如說sinxx,x≠0 。

2. Jump Discontinuity

limx→x+0f(x) for(x<x0 ) exists, and limx→x−0f(x) for(x>x0 )also exists, but they are NOT equal.

3. Infinite Discontinuity

Right-hand limit:

limx→0+1x=∞

Left-hand limit:

limx→0−1x=−∞

4. Other(Ugly) discontinuity

This function doesn’t even go to±∞ — it doesn’t make sense to say it goes to anything. For something like this, we say the limit does not exist.

3. 兩個三角函數的極限

注意下面的表達式中θ 代表弧度，而不是角度。

limθ→0sinθθ=1;

limθ→01−cosθθ=0;

幾何證明：

當上圖中的角度θ 變得非常小的時候，我們可以看出半弦長(sinθ )越來越接近半弧長(θ )。

從上圖中可以看出當角度變得越來越小時，1−cosθ 相對於θ 來顯得越來越小。

4. 定理：可微則一定連續

If f is differentiable at x0 , then f is continuous at x0 .

Proof:

limx→x0(f(x)−f(x0))=limx→x0[f(x)−f(x0)x−x0](x−x0)=f′(x0)⋅0=0