1. 導數的幾何意義
函數f(x) 在點P 的導數定義爲P 點在函數曲線上的該點切線的斜率。但是如何來準確的求出曲線在該點的切線呢。
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有兩點要注意：
- 切線並不是只與曲線只有一個交點的線
- 它是曲線上另一點逐漸靠近P 點時，形成的割線斜率的極限。
所以導數的幾何定義即爲：
Limit of slopes of secant lines PQ as Q→P (P fixed). The slope of PQ¯¯¯¯¯ :
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在我們知道了曲線的導數f′(x) 後，我們可以求得點P(x0,y0) 處的切線方程爲：
y−y0=f′(x)(x−x0)
一些記號
由於y=f(x) ，所以我們記：
Δy=Δf=f(x)−f(x0)=f(x+Δx)−f(x0)
差分商的公式可以記爲：
ΔyΔx=ΔfΔx
當我們取極限Δx→0 時，我們得到
ΔyΔx→dydx(Leibniz' notation)
ΔfΔx→f′(x0)(Newton's notation)
當我們談及函數f 的導數時，下面的記號是等價的：
dffx,f′,and Df
例：用極限的方法求xn 的導數
ddxxn=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=limΔx→0(x+Δx)n−xnΔx=limΔx→0xn+Cn1xn−1(Δx)+O(Δx2)−xnΔx=limΔx→0Cn1xn−1(Δx)+O(Δx2)Δx=limΔx→0(Cn1xn−1+O(Δx))=nxn−1
2. 導數的物理解釋
當我們把導數定義爲變化率時就得到了導數的物理意義，比如速度。
MIT的孩子們有一個從樓頂往下扔南瓜的傳統，我們假設高度爲400M。
南瓜離地面的高度隨着時間變化而變化，這個關係可以用下面的函數表示：
y=400−16t2
從上面的關係中，我們首先可以計算南瓜的平均速度：
v¯=ΔyΔt=distance travelledtime elapsed
我們可以知道當南瓜着地的時候y=400−16t2=0 ，此時t=5 ，那麼平均速度v¯=400m5sec=80m/s
而實際上我們更關心的是它的瞬時速度，比如南瓜落地時的速度，因爲如果速度過快可能會砸死小朋友！
t=5 時的瞬時速度爲y′ :
y′=−32t=−160 m/s
y 是負的因爲南瓜的速度向下增長的（不是因爲速度方向向下）。
3. 變化率(rate of change)
物理中很多物理量有變化率定義：
- 電荷的變化率（dqdt ）爲電流
- 距離的變化率（dsdt ）爲速度
- 溫度的變化率（dTdt ）爲溫度梯度
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