《算法導論》第19章 斐波那契堆 個人筆記

第19章 斐波那契堆

19.1 斐波那契堆結構

斐波那契堆是一系列具有最小堆序的有根樹的集合，棵樹都遵循最小堆性質。

相關的屬性：
1. x.p ：結點x的父結點
2. x.child ：指向結點x的某一個孩子的指針，x的所有孩子被鏈接成一個環形的雙向鏈表，稱爲x的孩子鏈表
3. y.left,y.right ：孩子鏈表中的每個孩子y的左兄弟和右兄弟。如果y是僅有的一個孩子，則y.left=y.right=y
4. x.degree ：結點x的孩子鏈表中的孩子數目
5. x.mark ：指示結點x自從上一次成爲另一個結點的孩子後，是否失去過孩子。新產生的結點是未被標記的，並且當結點x成爲另一個結點的孩子時，它便成爲未被標記結點
6. H.min ：指向根鏈表中關鍵字最小的那個結點
7. H.n ：表示H中當前的結點數目
8. t(H) ：表示H中根鏈表中樹的數目
9. m(H) ：表示H中已標記的結點數目

勢函數：Φ(H)=t(H)+2m(H)

19.2 可合併堆操作

• 創建一個新的斐波那契堆
  MAKE-FIB-HEAP()過程分配並返回一個斐波那契堆對象H，其中H..n=0,H.min=NIL 。實際代價爲O(1) 。
• 插入一個結點：
  實際代價爲O(1) 。

FIB-HEAP-INSERT(H,x){
    x.degree = 0
    x.p = NIL
    x.child = NIL
    x.mark = FALSE
    if H.min == NIL
        create a root list for H containing just x
        H.min = x
    else
        insert x into H's root list
        if x.key < H.min.key
            H.min = x
    H.n++
}

• 尋找最小結點：
  可以直接通過H.min得到，實際代價爲O(1) 。
• 兩個斐波那契堆的合併
  實際代價爲O(1) 。

FIB-HEAT-UNIN(H1, H2){
    H = MAKE-FIB-HEAP()
    H.min = H1.min
    concatenate the root list of H2 with the root list of H
    if (H.min == NIL)||(H2.min != NIL && H2.min.key < H1.min.key)
        H.min = H2.min
    H.n = H1.n + H2.n
    return H
}

• 抽取最小結點：
  實際代價爲O(lgn) 。

FIB-HEAP-EXTRACT-MIN(H){
    z = H.min
    if z != NIL
        for each child of z
            add x to the root list of H
            x.p = NIL
        remove z from the root list of H
        if z == z.right //z is the only one root of H
            H.min = NIL
        else
            H.min = z.right
            CONSOLIDATE(H)
        H.n--
    return z
}
//A[0..D(H.n)]記錄根結點對應的度數的軌跡，如果A[i]=y，則y是一個具有y.degree=i的根
CONSOLIDATE(H){
    let A[0..D(H.n)] be a new array
    for i=0 to D(H.n)
        A[i]=NIL
    for each node w in the root list of H
        x = w
        d = x.degree
        while A[d] != NIL
            y = A[d] //another node with the same dagree as x
            if x.key > y.key
                exchange x with y
            FIB-HEAP-LINK(H,y,x)
            A[d]=NIL
            d++
        A[d] = x
    H.min = NIL
    for i=0 to D(H.n)
        if A[i] != NIL
            if H.min == NIL
                create a root list for H containing just A[i]
                H.min = A[i]
            else
                insert A[i] into H's roott list
                    if A[i].key < H.min
                        H.min = A[i]
}
FIB-HEAP-LINK(H,y,x){
    remove y from the root list of H
    make y a child of x, increamentingg x.degree
    y.mark = FALSE
}

19.3 關鍵字減值和刪除一個結點

• 關鍵字減值：

FIB-HEAP-DECREASE(H,x,k){
    if k > x.key
        error "new key is greater than current key"
    x.key = k
    y = x.p
    if y != NIL && x.key < y.key
        CUT(H,x,y)
        CASCADING-CUT(H,y)
    if x.key < H.min.key
        H.min= x
}
CUT(H,y){
    remove x from the child list of y, decrementing y.degree
    add x to the root list of H
    x.p = NIL
    x.mark = FALSE
}
CASCADING-CUT(H,y){
    z = y.p
    if z != NIL
        if y.mark == FALSE
            y.mark = TRUE
        else
            CUT(H,y)
            CASCADING-CUT(H,z)
}

• 刪除一個結點：

FIB-HEAP-DELECT(H,x){
    FIB-HEAP-DECREASE(H,x,-inf)
    FIB-HEAP-EXTRACT-MIN(H)
}