《算法導論》第2章 算法基礎 個人筆記

第2章 算法基礎

2.1 插入排序

INSERTION-SORT(A)
for j = 2 to A.length
    key = A[j]
    i = j - 1
    while i > 0 and A[i] > key
        A[i+1] = A[i]
        i--
    A[i+1] = key

2.2 分析算法

在INSERTION-SORT中，若輸入數組已排好序，則出現最佳情況，T(n)=Θ(n)
若輸入數組已反向排序，則導致最壞情況，T(n)=Θ(n2)

2.3 分治法–歸併算法

分治模式在每層遞歸時都有三個步驟：

• 分解原問題爲若干個子問題
• 解決這些子問題
• 合併這些子問題

歸併算法完全遵循分治模式：

MERGE(A, p, q, r)
n1 = q - p + 1
n2 = r - q
let L[1..n1+1] and R[1..n2+1] be new arrays
for i = 1 to n1
    L[i] = A[p + i - 1]
L[n1 + 1] = MAX
for j = 1 to n2
    L[j] = A[q + j]
R[n2 + 1] = MAX
i = 1
j = 1
for k = p to r
    if L[i] <=R[j]
        A[k] = L[i]
        i++
    else 
        A[k] = R[j]
        j++

MERGE-SORT(A, p r)
if p < r
    q = (p + r) / 2
    MERGE-SORT(A, p q)
    MERGE-SORT(A, q + 1, r)
    MERGE(A, p, q, r)

複雜度分析：
每一個MERGE的複雜度是(r-p+1)，即輸入規模，用結果遞歸樹表示

第 i 層具有2i 個節點，每個節點貢獻代價c(n/2i) ，所以第 i 層具有總代價2i∗c(n/2i)=cn ，遞歸樹總層數爲lgn+1 。故總代價爲cn(lgn+1)=cnlgn+cn ，忽略低階項和常量c便給出了期望的結果Θ(nlgn)