《算法導論》第4章 分治策略 個人筆記

第4章 分治策略

本章通過兩個例子介紹分治策略，然後介紹三種方法求解遞歸式。

4.1 最大子數組問題

FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A, low, mid, high)
left_sum = - MAX
sum = 0
for i = mid downto low
    sum = sum + A[i]
    if sum > left_sum
        left_sum = sum
        max_left = i
right_sum = - MAX
sum = 0
for j = mid + 1 to high
    sum = sum + A[j]
    if sum > right_sum
        right_sum = sum
        max_right = j
return(max_left, max_right, left_sum + right_sum)

FIND-MAXIMUN-SUBARRAY(A, low, high)
if high == low
    return(low, high, A[low])
else
    mid = (low + high) / 2
    (left_low, left_high, left_sum) = FIND-MAXIMUN-SUBARRAY(A, low, mid)
    (rihgt_low, rihgt_high, rihgt_sum) = FIND-MAXIMUN-SUBARRAY(A, mid + 1, high)
    (cross_low, cross_high, cross_sum) = FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A, low, mid, high)
    if left_sum >= right_sum and left_sum >= cross_sum
        return(left_low, left_high, left_sum)
    elseif right_sum >= left_sum and right_sum >= cross_sum
        return(right_low, right_high, right_sum)
    else
        return(cross_low, cross_high, cross_sum)

這裏因爲展現分治策略所以這樣做，但複雜度略高，T(n)=Θ(nlgn) 。
這裏給出一個我認爲比較簡單的方法，其本質是動態規劃。

FIND-MAXIMUN-SUBARRAY(A, low, high)
now_sum = -MAX
max_sum = -MAX
left = low
right = low
for i = low to high
    if now_sum < 0
        now_sum = 0
        left = i
    now_sum +=A[i]
    if now_sum > max_sum
        max_sum = now_sum
        right = i
return(left, right, max_sum)

4.2 矩陣乘法的Strassen算法

普通方法：T(n)=Θ(n3)

SQUARE-MATRIX-MULTIPLY(A, B)
n = A.row
let C be a new nxn matrix
for i = 1 to n
    for j = 1 to n
        C[ij] = 0
        for k = 1 to n
            C[ij] += A[ik] * B[kj]

Strassen方法：T(n)=Θ(nlg7)
1. 將A、B和C分解成n2×n2 的子矩陣
2. 創建10個n2×n2 的矩陣S1,S2,...,S10 ，每個矩陣保存步驟1中創建的兩個子矩陣的和或差
3. 用步驟1中創建的子矩陣和步驟2中創建的10個矩陣，遞歸地計算7個矩陣積P1,P2,...,P7
4. 通過Pi 矩陣的不同組合進行加減運算，計算出結果矩陣C的子矩陣C11,C12,C21,C22

步驟2中，創建如下10個矩陣：

S1=B12−B22S2=A11+A12S3=A21+A22S4=B21−B11S5=A11+A22S6=B11+B22S7=A12−A22S8=B21+B22S9=A11−A21S10=B11+B12

步驟3中，遞歸地計算7次矩陣乘法：

P1=A11S1P2=S2B22P3=S3B11P4=A22S4P5=S5S6P6=S7S8P7=S9S10

步驟4，得到C的子矩陣：

C11=P5+P4−P2+P6C12=P1+P2C21=P3+P4C22=P5+P1−P3−P7

注：反正我記不住這些矩陣計算，也不想記，Strassen方法不怎麼實用=。=
到目前爲止，nxn矩陣相乘的漸進複雜度最優的算法是Coppersmith和Winograd提出的，運行時間爲O(n2.376) ，已經很好了，畢竟下界是Ω(n2) 。

4.3 用代入法求解遞歸式

步驟：

• 猜測解的形式
• 用數學歸納法求出解中常數，並且證明解釋正確的

4.4 用遞歸樹求解遞歸式

在2.2節中就用到過遞歸樹，可參考2.2那節內容。
遞歸樹主要是計算每層的代價和遞歸樹的層數。

4.5 用主方法求解遞歸式

定理4.1（主定理）：令a≥1 和b>1 是常數，f(n) 是一個函數，T(n) 是定義在非負整數上的遞歸式：

T(n)=aT(n/b)+f(n)

那麼T(n) 有如下形式：
1. 若對某個常數ε>0 有f(n)=O(nloga−εb) ，則T(n)=Θ(nlogab)
2. 若f(n)=Θ(nlogab) ，則T(n)=Θ(nlogablgn)
3. 若對某個常數ε>0 有f(n)=Ω(nloga+εb) ，且對某個常數c<1 和所有足夠大的n有af(n/b)≤cf(n) ，則T(n)=Θ(f(n))

注：這裏的小於大於都是指多項式意義上的小於大於，如果函數f(n) 落在間隙中，不能用主方法來求解遞歸式。