排序巧妙優化複雜度，帶來NOIP前的最後一絲寧靜。幾個活蹦亂跳的指針的跳躍次數，決定着莫隊算法的優劣……
·目前的題型概括爲三種：普通莫隊，樹形莫隊以及帶修莫隊。
【例題一】襪子
·述大意：
進行區間詢問[l,r]，輸出該區間內隨機抽兩次抽到相同顏色襪子的概率。
·分析：
首先考慮對於一個長度爲n區間內的答案如何求解。題目要求Ans使用最簡分數表示：那麼分母就是n*n(表示兩兩襪子之間的隨機組合)，分子是一個累加和，累加的內容是該區間內每種顏色i出現次數sum[i]的平方。
將莫隊算法擡上議程。莫隊算法的思路是，離線情況下對所有的詢問進行一個美妙的SORT()，然後兩個指針l,r（本題是兩個，其他的題可能會更多）不斷以看似暴力的方式在區間內跳來跳去，最終輸出答案。
掌握一個思想基礎：兩個詢問之間的狀態跳轉。如圖，當前完成的詢問的區間爲[a,b],下一個詢問的區間爲[p,q],現在保存[a,b]區間內的每個顏色出現次數的sum[]數組已經準備好，[a,b]區間詢問的答案Ans1已經準備好，怎樣用這些條件求出[p,q]區間詢問的Ans2？
考慮指針向左或向右移動一個單位，我們要付出多大的代價才能維護sum[]和Ans(即使得sum[],Ans保存的是當前[l,r]的正確信息)。我們美妙地對圖中l,r的向右移動一格進行分析：
如圖啦。l指針向右移動一個單位，所造成的後果就是：我們損失了一個綠色方塊。那麼怎樣維護？美妙地，sum[綠色]減去1。那Ans如何維護？先看分母，分母從n2變成(n-1)2，分子中的其他顏色對應的部分是不會變的，綠色卻從sum[綠色]2變成(sum[綠色]-1)2 ，爲了方便計算我們可以直接向給Ans減去以前該顏色的答案貢獻(即sum[綠色]2)再加上現在的答案貢獻(即(sum[綠色]-1)2 )。同理，觀賞下面的r指針移動，將是差不多的。
·如圖r指針的移動帶來的後果是，我們多了一個橙色方塊。所以操作和上文相似，只不過是sum[橙色]++。
·迴歸正題地，我們美妙的發現，知道一個區間的信息，要求出旁邊區間的信息（旁邊區間指的是當前區間的一個指針通過加一減一得到的區間），竟只需要O(1)的時間。
·就算是這樣，到這裏爲止的話莫隊算法依舊無法煥發其光彩，原因是：如果我們以讀入的順序來枚舉每個詢問，每個詢問到下一個詢問時都用上述方法維護信息，那麼在你腦海中會浮現出l,r跳來跳去的瘋狂景象，瘋狂之處在於最壞情況下時間複雜度爲：O(n2)————如果要這樣玩，那不如寫一個暴力程序。
·“莫隊算法巧妙地將詢問離線排序，使得其複雜度無比美妙……”在一般做題時我們時常遇到使用排序來優化枚舉時間消耗的例子。莫隊的優化基於分塊思想：對於兩個詢問，若在其l在同塊，那麼將其r作爲排序關鍵字，若l不在同塊，就將l作爲關鍵字排序（這就是雙關鍵字）。大米餅使用Be[i]數組表示i所屬的塊是誰。排序如：
·值得強調的是，我們是在對詢問進行操作。
·時間複雜度分析（分類討論思想）：
首先，枚舉m個答案，就一個m了。設分塊大小爲unit。
分類討論：
①l的移動：若下一個詢問與當前詢問的l所在的塊不同，那麼只需要經過最多2*unit步可以使得l成功到達目標.複雜度爲：O(m*unit)
②r的移動：r只有在Be[l]相同時纔會有序（其餘時候還是瘋狂地亂跳，你知道，一提到亂跳，那麼每一次最壞就要跳n次！），Be[l]什麼時候相同？在同一塊裏面l就Be[]相同。對於每一個塊，排序執行了第二關鍵字：r。所以這裏面的r是單調遞增的，所以枚舉完一個塊，r最多移動n次。總共有n/unit個塊:複雜度爲：O(n*n/unit)
總結：O(n*unit+n*n/unit)（n,m同級，就統一使用n）
根據基本不等式得：當n爲sqrt(n)時，得到莫隊算法的真正複雜度：
O(n*sqrt(n))
·代碼上來了（莫隊喜歡while）：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 50003;
struct node {
int l, r, id;
LL a, b;
}q[N];
LL gcd(LL a, LL b) {
return !b ? a : gcd(b, a%b);
}
int n, m, col[N], unit, be[N];
LL sum[N], ans = 0;
bool cmp1(node a, node b) {
return be[b.l] == be[a.l] ? a.r < b.r : a.l < b.l;
}
bool cmp2(node a, node b) {
return a.id < b.id;
}
void revise(int x, int add) {
ans -= sum[col[x]] * sum[col[x]];
sum[col[x]] += add;
ans += sum[col[x]] * sum[col[x]];
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
unit = sqrt(n);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &col[i]);
be[i] = i / unit + 1;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d%d", &q[i].l, &q[i].r);
q[i].id = i;
}
sort(q + 1, q + m + 1, cmp1);
int l = 1, r = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
while (l < q[i].l) {
revise(l, -1);
l++;
}
while (l > q[i].l) {
revise(l - 1, 1);
l--;
}
while (r < q[i].r) {
revise(r + 1, 1);
r++;
}
while (r > q[i].r) {
revise(r, -1);
r--;
}
if (q[i].l == q[i].r) {
q[i].a = 0;
q[i].b = 1;
continue;
}
q[i].a = ans - (q[i].r - q[i].l + 1);
q[i].b = 1 * (q[i].r - q[i].l + 1)*(q[i].r - q[i].l);
LL g = gcd(q[i].a, q[i].b);
q[i].a /= g;
q[i].b /= g;
}
sort(q + 1, q + m + 1, cmp2);
for (int i = 1; i <= m; i++)printf("%lld/%lld\n", q[i].a, q[i].b);
}