三角函數的性質
一系列三角函數諧波（harmonic sinusoids）是傅里葉分析的基石，我們可以用這些不同頻率的諧波構建各種各樣的信號/波形。
諧波（harmonics）：
現在我們選擇一個頻率爲f0的任意頻率（arbitrary frequency）的正弦/餘弦函數爲基波（fundamental frequency）。則有一系列的基於該波的諧波（harmonics），這些諧波的頻率都是基波的整數倍，例如，2f0, 3f0, 4f0, 5f0......kf0。
頻率爲任意頻率f0的基波（一對正弦和餘弦）:
基於該基波的諧波分量fk = k*f0，k是任意整數：
下圖是頻率爲任意頻率f0的基波及其諧波，週期逐級以整數倍遞減，頻率逐級以整數倍增加。
上圖是頻率爲任意頻率f0的基波及其諧波，週期逐級以整數倍遞減，頻率逐級以整數倍增加。
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下面我們用另外一種方式來重新表示諧波，如下：
之前我們只是通過不同的頻率或週期來表示不同的諧波，現在我們還能通過改變振幅（amplitude）和相位（phase）來定義不同的諧波。
幅度（amplitude）：
波的幅度就是信號中高於或低於信號均值的值，幅度可以是正值或負值。如果一個餘弦函數的表達式爲：a cos（wt），則該餘弦曲線的最大值（+1）和最小值（-1）由係數a進行縮放。波形的最高峯值不會超過a，這個係數被稱爲波的幅度。在上面的兩個等式中，ak和bk都是是波的幅度。
相位（phase）：
相位可以理解成波形的起始位置，也可以理解成整個波形的整體移動。例如一個正弦波，當相位爲0時，（即，無位移的情況下）他在0點的值是0。若發生了四分之一個週期的位移，即，90度的位移，則他在0點的值是正1。
上圖中的一艘軍艦遭遇了疊加着三種不同波長/不同頻率海浪的拍打！當這些海浪由於相位不同，大部分能量相互抵消，所以大部分時候的海面風平浪靜。當這些海浪的相位達到一種相互增強的情況下時，則最終會疊加成一個巨大的海浪(如上圖中虛線)。是否會形成這種巨浪取決於這些分量的相對相位！
正交（orthogonality）：
正弦波和餘弦波正好差了π/2個相位，即90度。若有兩個信號的相位相差-90度或+90度時，則這兩個信號被視爲是正交的，因此，正弦波和餘弦波是相互正交的。
例如，下圖中最後一圖發生了90度移位的正弦波和餘弦波正好重合。
餘弦波總是在0點（t = 0）處達到其峯值/最大值，且在此處的相位爲π/2。正弦波，不論其頻率爲多少，在0點（t = 0）處總是爲0，且此處的相位爲0。因此，不管把多少任意頻率，任意幅度的正弦波加在一起，最終的波形在0點處一定還是0。同理，不論把多少各種各樣的餘弦波加在一起，最終在0點的幅度總不是0。
用不同頻率的三角波合成信號
諧波信號的疊加（只改變頻率）：
下面我們把上圖中，幅度相同，0相位，不同頻率的三個正弦波和三個餘弦波加在一起。由下圖中的實驗結果知，三個正弦波/奇函數相加還是奇函數，並且在0點處的值還是0，關於原點中心對稱。三個餘弦波/偶函數相加的結果還是偶函數，並且在0點處的值還是峯值，關於Y軸鏡像對稱。最後一幅圖是把正弦函數和餘弦函數的和相加後的結果，這是信號合成的基礎。
上圖中的信號合成是用三個整數倍於基波頻率f0的正弦諧波和餘弦諧波的疊加而成的，請大家回憶一下，本文中一開始講的基波頻率整數倍的諧波，f0, 2f0, 3f0, 4f0.......kf0。上面只是用了3-6個諧波來合成新波形，並且不改變幅度和相位。接下來我們仍舊不改變諧波的幅度和相位，而是增加諧波的數量（增加到12,50個，乃至更多）來合成新的信號。
正弦諧波的疊加（只改變頻率）：
餘弦諧波的疊加（只改變頻率）：
注意：我專門用黑框標註的幅度的變換。
正弦+餘弦諧波的疊加，並取絕對值（只改變頻率）：
用無窮多個相同幅度，0相位的，不同頻率的正弦和餘弦的諧波疊加並取絕對值，最終會合成一個衝擊串信號！
就目前來看，如果只是改變三角函數的頻率能夠合成的波形似乎非常有限。目前我們只是合成信號處理中最常見的衝擊串和Sinc函數。那麼其他的常見信號又是怎麼用三角函數合成的呢？例如，方波，鋸齒波，隨機信號，等等。
預知後事如何，請見下回分解。
《聖經》約翰福音 12章:25 ------ 愛惜自己生命的，就失喪生命；在這世上恨惡自己生命的，就要保守生命到永生。