用不同頻率，相位，幅度的三角波合成信號

上回我們通過只改變正弦和餘弦頻率的方式，得到了衝擊串信號和Sinc函數，這兩個常見信號。這次我們不僅要改變各階諧波的頻率（k*fo）還要改變他們的幅值（ak,bk）和相位（φk）,去合成更多的波。

諧波信號的疊加（不同頻率，不同幅度，不同相位）：

剛纔我們所合成的信號非常有限，因爲我們只改變了三角函數中的頻率，而沒有改變幅度和相位這兩個參數。現在我們試着改變不同諧波中的幅度和相位，我們就能合成幾乎所有類型的波。這就是傅里葉分析的核心思想！

用正弦波/餘弦波合成方波：

用正弦波合成方波時，只需把頻率是基波頻率f0的奇整數倍的正弦諧波（奇函數），即，1f0,3f0,5f0....., 逐一相加就行了。但在相加之前需要把正弦函數的幅度A改爲其頻率的倒數，即，A = 1/1, 1/3,1/5.....。最終合成出來的方波還是一個奇函數。

用餘弦波合成方波時，方法和合成正弦波的方式基本相同。不是上面所說的“逐一相加”，而是一正一負，或者說是一加一減。最終合成出來的方波還是一個偶函數。

具體的正弦波和餘弦波的合成公式如下：

奇數項諧波和偶數項諧波的相互抵消：

請注意，不論是用正弦還是用餘弦來合成方波時，所選用的諧波係數K都是奇數。主要原因就是，奇數項的諧波（不論是正弦還是餘弦，即，不論是奇函數，還是偶函數）會抵消偶數項的諧波。換句話說，偶數項/階（even order）的諧波是具有破壞性的（destructive），因此不常被用於信號的分析和構建。例如在下圖中，可以明顯的看到這一點。

這裏，頻率爲1,3Hz的諧波和頻率爲2,4Hz的諧波在圖中所指出的位置（t = 0.5 秒）是正好相反的（antipodal）。之所以，無窮多個正弦波和餘弦波的疊加（取絕對值）能夠被用來合成衝擊串信號也是正是利用了這一原理，即，偶數階諧波的破壞性。見下圖。

顛覆了傅里葉變換的Gibbs現象

Gibbs現象：

在合成方波的過程中，我們最初只用了一個基波+三個諧波合成的信號就很像方波了，那麼是不是隻要諧波的數量足夠多，最終合成的波形就能夠和方波一模一樣嗎？答案是否定的。

隨着諧波數量的增加，如下圖中諧波的數量增加到100項，最終合成的波形確實越來越像方波，但是始終會波形的邊緣處產生劇烈的振盪/抖動（ripple），這就是著名的Gibbs現象。Gibbs現象同時還是一個非常優秀的特例，徹底的否定了另一個鼎鼎大名的定理，即，傅里葉指出所有信號都可以用傅里葉級數來表達。但Gibbs現象說明，傅里葉級數無法表示不連續，有間斷的信號。