混疊頻率的計算
上次我們講到如果混疊沒能成功避免，那麼混疊後的信號就會偷偷混入重建後的信號。那麼這個經過僞裝的“僞裝信號”的頻率是多少呢？他會出現在頻譜中的哪裏呢？這是可以通過精確計算得到的。
先從奧本海姆的信號與系統中的一幅插圖說起，奧本海姆老師想要通過這幅圖說明混疊，所繪製的波形爲下圖公式所示的餘弦函數。
圖中的ωo表示原始信號的頻率，ωs表示採樣頻率。這幅圖一共有四張，前兩張的採樣頻率分別是原始頻率的6倍和3倍，所以重建後的信號並沒有出現混疊如下圖所示。
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由於我很喜歡這個例子，所以我就用matlab把它仿真了一下。此處我的餘弦函數的採樣頻率爲60Hz, 所以第一個連續信號（下圖中第一行）的原始頻率爲10Hz, 此時採樣頻率爲原始信號頻率的6倍。第二個連續信號（下圖中第三行）的原始頻率爲20Hz, 此時採樣頻率爲原始信號頻率的3倍。（箭頭沒能仿真成功，嘻嘻）
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Matlab代碼如下：
%% sampling freqency 6 times continous signal
Fs = 60; % Sampling Freq.
Fo = Fs/6; % freq. of continous Signal
T = 1/Fs; % sampling period
tmin = -pi/15.7; % lower limit of time vector
tmax = pi/15.7; % upper limit of time vector
Bins = 400; % Number of Bins
t = linspace(tmin, tmax, Bins); % time space vector
nmin = ceil(tmin / T); % lower limit of num vector
nmax = floor(tmax / T); % upper limit of num vector
n = nmin:nmax; % discrete space vector
CosineSignal = cos(2.*pi.*Fo.*t);
SampleSignal = cos(2.*pi.*Fo.*n.*T);
subplot(4,1,1)
plot(t,CosineSignal,'k','LineWidth',2);
title('\fontsize{35}Sampling freqency 6 times continous signal. i.e. Proper sampling');
hold on
stem(n*T,SampleSignal,'r','filled','LineWidth',2)
hold off
subplot(4,1,2)
plot(t,CosineSignal,'--k','LineWidth',2);
title('\fontsize{35}Rebuild continous signal with sampled discrete signal');
hold on
stem(n*T,SampleSignal,'r','filled','LineWidth',2)
hold off
%% sampling freqency 3 times continous signal
Fs = 60; % Sampling Freq.
Fo = Fs/3; % freq. of continous Signal
T = 1/Fs; % sampling period
tmin = -pi/15.7; % lower limit of time vector
tmax = pi/15.7; % upper limit of time vector
Bins = 400; % Number of Bins
t = linspace(tmin, tmax, Bins); % time space vector
nmin = ceil(tmin / T); % lower limit of num vector
nmax = floor(tmax / T); % upper limit of num vector
n = nmin:nmax; % discrete space vector
CosineSignal = cos(2.*pi.*Fo.*t);
SampleSignal = cos(2.*pi.*Fo.*n.*T);
subplot(4,1,3)
plot(t,CosineSignal,'k','LineWidth',2);
title('\fontsize{35}Sampling freqency 3 times continous signal. i.e. Proper sampling');
hold on
stem(n*T,SampleSignal,'r','filled','LineWidth',2)
hold off
subplot(4,1,4)
plot(t,CosineSignal,'--k','LineWidth',2);
title('\fontsize{35}Rebuild continous signal with sampled discrete signal');
hold on
stem(n*T,SampleSignal,'r','filled','LineWidth',2)
hold off 在用matlab仿真時，重建信號（即圖像中灰色虛線）的頻率由於沒有出現混疊。則在用matlab繪製圖像時，重建的COS波形的頻率沿用了原始信號的頻率Fo。但在仿真下面圖像時就必須要精確的計算出混疊後的頻率Fs才能繪製出混疊信號的波形。
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要想畫出上圖中的虛線，即僞裝後變慢了的信號，必須要精確的知道信號變慢了多少。對於欠採樣不太嚴重的情況（即,原始頻率小於採樣頻率但大於採樣頻率的一半。Fs/2<Fo<Fs），如上圖中的情況。則可以使用如下計算公式中的情形（c）和情形（d）：
在本例中我所使用的採樣頻率爲60Hz, 按照公式（c）和公式（d）則發生混疊後的混疊頻率分別爲：
For (c) ωo = 40Hz ; Fa = ωs - ωo = 20Hz
For (d) ωo = 50Hz ; Fa = ωs - ωo = 10Hz
如果原始信號的頻率遠遠高於採樣頻率，即原始頻率Fo不僅大於Fs還有可能大於Fs的2,3,4,5...倍則可以使用如下公式。fa表示混疊頻率，fs表示採樣頻率，f表示原始信號的最高頻。式中||表示求絕對值，式中（closest integermultiple of fs）表示整數倍於最接近原始頻率f的倍數。例如，如果採樣頻率爲100Hz,原始信號的最高頻爲710Hz則這是式中的（closest integermultiple of fs）等於7，即7*fs。
現假設信號採樣頻率爲100 Hz，輸入信號包含下列頻率：25 Hz、70 Hz、160 Hz和510 Hz。 低於50 Hz奈奎斯特頻率纔可正確採樣，超過50 Hz的頻率顯示爲混疊，所以只有頻率爲25Hz的信號才能被正確採樣。fs/2爲奈奎斯特頻率即採樣頻率的一半。
其中，頻率超過50Hz的信號的混疊頻率計算公式爲：
（1） 當輸入信號的頻率F2爲70Hz時，採樣頻率Fs爲100Hz。按照奈奎斯特採樣定律，要想對70Hz的輸入信號充分採樣，採樣頻率至少要大於140Hz，即輸入信號頻率的兩倍。所以發生了混疊，由於輸入頻率爲70，所以離採樣頻率100最近的整數倍數是1（即，這裏的（closest integermultiple of fs） = 1）。 計算結果如下：
F2 Alias = |100 - 70| = 30Hz
（2） 當輸入信號的頻率F3爲160Hz時，採樣頻率爲Fs100Hz。採樣頻率低於輸入信號的頻率，發生了混疊，由於輸入頻率爲160，所以離採樣頻率100最近的整數倍數是2（即，這裏的（closest integermultiple of fs） = 2）。 計算結果如下：
F3 Alias = |2*100 - 160| = 40Hz
（3） 當輸入信號的頻率F4爲510Hz時，採樣頻率爲Fs100Hz。採樣頻率低於輸入信號的頻率，發生了混疊，由於輸入頻率爲510，所以離採樣頻率100最近的整數倍數是5（即，這裏的（closest integermultiple of fs） = 5）。 計算結果如下：
F4 Alias = |5*100 - 510| = 10Hz
混疊頻率即摺疊頻率：
混疊頻率有時又叫摺疊頻率，只需把超過奈奎斯特頻率（Fs/2）的頻段或是超過採樣頻率（Fs）的頻段以奈奎斯特頻率或採樣頻率爲中軸對摺過去就好了。或者說是以奈奎斯特頻率或採樣頻率爲中軸的鏡像。如下圖，一個6Hz的信號以奈奎斯特頻率3.5Hz爲中軸摺疊爲1Hz的信號。同理，一個8Hz的信號以採樣頻率7Hz爲中軸摺疊爲頻率爲6Hz的信號。
好了， 計算公式以及詳細的計算方法都已經給出來了。最後用Matlab把教科書中的帶有混疊的那部分圖示仿真出來（注意：重建後的混疊信號我用藍色的虛線表示出來了）。
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Matlab代碼：
%% sampling freqency 3/2 times continous signal
Fs = 60; % Sampling Freq.
Fo = 4*Fs/6; % freq. of continous Signal
T = 1/Fs; % sampling period
tmin = -pi/15.7; % lower limit of time vector
tmax = pi/15.7; % upper limit of time vector
Bins = 400; % Number of Bins
t = linspace(tmin, tmax, Bins); % time space vector
nmin = ceil(tmin / T); % lower limit of num vector
nmax = floor(tmax / T); % upper limit of num vector
n = nmin:nmax; % discrete space vector
CosineSignal = cos(2.*pi.*Fo.*t);
SampleSignal = cos(2.*pi.*Fo.*n.*T);
figure;
subplot(4,1,1)
plot(t,CosineSignal,'k','LineWidth',2);
title('\fontsize{35}Sampling freqency 1.5 times continous signal. Improper sampling resualt in Aliasing');
hold on
stem(n*T,SampleSignal,'r','filled','LineWidth',2)
hold off
%figure out Aliasing freq.
Fa = abs(Fo-Fs);
CosineSignal = cos(2.*pi.*Fa.*t);
subplot(4,1,2)
plot(t,CosineSignal,'--b','LineWidth',2);
title('\fontsize{35}Rebuild continous signal with sampled discrete signal');
hold on
stem(n*T,SampleSignal,'r','filled','LineWidth',2)
hold off
%% sampling freqency 6/5 times continous signal
Fs = 60; % Sampling Freq.
Fo = 5*Fs/6; % freq. of continous Signal
T = 1/Fs; % sampling period
tmin = -pi/15.7; % lower limit of time vector
tmax = pi/15.7; % upper limit of time vector
Bins = 400; % Number of Bins
t = linspace(tmin, tmax, Bins); % time space vector
nmin = ceil(tmin / T); % lower limit of num vector
nmax = floor(tmax / T); % upper limit of num vector
n = nmin:nmax; % discrete space vector
CosineSignal = cos(2.*pi.*Fo.*t);
SampleSignal = cos(2.*pi.*Fo.*n.*T);
subplot(4,1,3)
plot(t,CosineSignal,'k','LineWidth',2);
title('\fontsize{35}Sampling freqency 1.2 times continous signal. Improper sampling resualt in Aliasing');
hold on
stem(n*T,SampleSignal,'r','filled','LineWidth',2)
hold off
% figure out Aliasing freq.
Fa = abs(Fo-Fs);
CosineSignal = cos(2.*pi.*Fa.*t);
subplot(4,1,4)
plot(t,CosineSignal,'--b','LineWidth',2);
title('\fontsize{35}Rebuild continous signal with sampled discrete signal');
hold on
stem(n*T,SampleSignal,'r','filled','LineWidth',2)
hold off（全文完）
鳴謝：
【1】http://www.ni.com/white-paper/2709/zhs/ 美國國家儀器（NI） 技術白皮書
【2】signals and systems 第二版 奧本海姆
【3】Matlab 2017a
【4】http://e2e.ti.com/blogs_/archives/b/precisionhub/archive/2015/09/04/aliasing-in-adcs-not-all-signals-are-what-they-appear-to-be 德州儀器
謝謝收看！
再見！
《聖經》馬太福音3章2節 天國近了，你們應當悔改！
*配圖與本文無關*