【Bzoj3196】2B平衡樹

題意

您需要寫一種數據結構（可參考題目標題），來維護一個有序數列，其中需要提供以下操作：
1.查詢k在區間內的排名
2.查詢區間內排名爲k的值
3.修改某一位值上的數值
4.查詢k在區間內的前驅(前驅定義爲小於x，且最大的數)
5.查詢k在區間內的後繼(後繼定義爲大於x，且最小的數)

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解析

唔…看到這個標題
啊啊啊是你嗎2B小姐姐！！
好了不發神經

這是個灰常普通的樹套樹模板，一般會用線段樹套平衡樹。
注意線段樹的每個結點套平衡樹，不是說把a1，a2，an看作平衡樹塞進去，而是說線段樹的1結點[1,n]上有一個平衡樹，2結點[1,n/2]，3結點[n/2+1,n]…上都是一個平衡樹。打多了就會了吧。

這裏推薦套Treap或者替罪羊吧會快一點，
打得熟練的話用樹狀數組代替線段樹，常數小很多還省空間。

嗯樹套樹的話有幾個重點問題吧。
首先先不急着動，先看清題意大概定好自己用什麼樹套什麼樹。
儘量選自己打得熟練的，不然到時候打起來還要一邊打一邊調很麻煩。
然後就是空間的計算，這也是樹套樹的重點吧，儘量多分析，像這道題的話，線段樹開4n，我們發現每次操作影響線段樹的logn個結點，m個操作，那麼平衡樹也就只需要開到mlogn略大就可以了。(空間這個是重點)
還有最好把一種樹的操作打在一起，方便調試。
之後就是優化的問題，考慮用樹狀數組之類的各種技巧。

回到這道題，幾個操作應該都比較模板，2操作的話是要考慮一個二分，每次查詢完答案儘量往大的走。找到滿足的最大數即是答案，證明的話應該也比較顯然。前驅後繼在每一層查，然後取最大/最小值。

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放一個一點也不好看的代碼，跑得也慢。
樹狀數組的有空再打(估計它不會誕生了)

#include <cstring> 
#include <cstdio>
#include <algorithm>

#define Rep( i , _begin , _end ) for(int i=(_begin),i##_END=(_end);i<=(i##_END);i++)
#define For( i , _begin , _end ) for(int i=(_begin),i##_END=(_end);i!=(i##_END);i++)
#define Lop( i , _begin , _end ) for(int i=(_begin),i##_END=(_end);i>=(i##_END);i--)
#define Dnt( i , _begin , _end ) for(int i=(_begin),i##_END=(_end);i!=(i##_END);i--)

using std :: max;
using std :: min;

const int maxx = 50000 + 25;
const int maxm = 50000 * 2 * 16 + 25;
const int Inf = (unsigned)(-1) >> 1;

int n,m,x,y,z,f,num,tot,ans;

int rt[maxx<<2],a[maxx];
int ch[maxm][2],v[maxm],fix[maxm],size[maxm],cnt[maxm];

namespace Treap{

    int  chk(int x,int y) {return x == y? 20011025 : x > y;}

    void upt(int i) {size[i] = size[ch[i][0]] + size[ch[i][1]] + cnt[i];}

    void rotate(int &i,int f){
        int t = ch[i][f];
        ch[i][f] = ch[t][f^1];
        ch[t][f^1] = i;
        size[t] = size[i];
        upt(i);i = t;
    }

    void insert(int &i,int x){
        if(!i) {i = ++num;v[i] = x;fix[i] = rand();size[i] = cnt[i] = 1;return;}
        size[i] ++;
        if(v[i] == x) {cnt[i] ++;return;}
        int tmp = chk(x,v[i]);
        insert(ch[i][tmp],x);
        if(fix[ch[i][tmp]] < fix[i]) rotate(i,tmp);
    }

    void remove(int &i,int x){
        if(!i) return;
        int tmp = chk(x,v[i]);
        if(x != v[i]) size[i] --,remove(ch[i][tmp],x);
        if(v[i] == x){
            if(cnt[i] > 1) {cnt[i] --;size[i] --;return;}
            if(ch[i][0] * ch[i][1] == 0) {i = ch[i][0] + ch[i][1];return;}
            int tmp = chk(fix[ch[i][0]],fix[ch[i][1]]);
            rotate(i,tmp);remove(i,x);
        }
    }

    int Qrank(int i,int x){
        if(!i) return 0;
        if(v[i] == x) return size[ch[i][0]];//
        else return x <= v[i]? Qrank(ch[i][0],x) : Qrank(ch[i][1],x) + size[ch[i][0]] + cnt[i];
    }

    int Order(int i,int x){
        if(!i) return 0;
        if(x > size[ch[i][0]] + cnt[i]) return Order(ch[i][1],x - size[ch[i][0]] - cnt[i]);
        else return x <= size[ch[i][0]]? Order(ch[i][0],x) : v[i];
    }

    void Query(int i,int x,int f,int &k){
        if(!i) return;
        if(chk(v[i],x) == f) {k = f? min(k,v[i]) : max(k,v[i]);return Query(ch[i][f^1],x,f,k);}
        else return Query(ch[i][f],x,f,k);
    }

}

namespace Segment_Tree{

    using namespace Treap;

    void Build(int t,int l,int r){
        //insert(rt[t],Inf);insert(rt[t],-Inf);
        Rep( i , l , r ) insert(rt[t],a[i]);
        if(l == r) return;int mid = (l+r) >> 1;
        Build(t<<1,l,mid);Build(t<<1|1,mid+1,r);
    }

    void modify(int i,int pos,int l,int r,int k){
        remove(rt[i],a[pos]);
        insert(rt[i],k);
        if(l == r) return;int mid = (l+r) >> 1;
        if(pos <= mid) modify(i<<1,pos,l,mid,k);
        if(pos >  mid) modify(i<<1|1,pos,mid+1,r,k);
    }

    int Get_rank(int i,int x,int y,int l,int r,int k){
        if(x <= l && r <= y) return Qrank(rt[i],k);
        int mid = (l+r) >> 1;int ans = 0;
        if(x <= mid) ans += Get_rank(i<<1,x,y,l,mid,k);
        if(y >  mid) ans += Get_rank(i<<1|1,x,y,mid+1,r,k);
        return ans;
    }

    int Ex_Order(int x,int y,int k){
        int l = 0,r = Inf,ans;
        while(l <= r){
            int mid = (l+r) >> 1;
            if(Get_rank(1,x,y,1,n,mid) + 1 <= k) {ans = mid,l = mid+1;}
            else r = mid - 1;
        }
        return ans;
    }

    void Ps(int i,int x,int y,int l,int r,int k,int f,int &t){
        if(x <= l && r <= y) return Query(rt[i],k,f,t);
        int mid = (l+r) >> 1;
        if(x <= mid){
            if(f) Ps(i<<1,x,y,l,mid,k,f,t);
            else  Ps(i<<1,x,y,l,mid,k,f,t);
        }
        if(y >  mid){
            if(f) Ps(i<<1|1,x,y,mid+1,r,k,f,t);
            else  Ps(i<<1|1,x,y,mid+1,r,k,f,t);
        }
    }

}

using namespace Segment_Tree;

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&m);
    Rep( i , 1 , n ) scanf("%d",&a[i]);
    Build(1,1,n);
    while( m-- ){
        scanf("%d%d%d",&f,&x,&y);

        if(f == 1) scanf("%d",&z),printf("%d\n",Get_rank(1,x,y,1,n,z) + 1);
        if(f == 2) scanf("%d",&z),printf("%d\n",Ex_Order(x,y,z));
        if(f == 3) modify(1,x,1,n,y),a[x] = y;
        if(f == 4) scanf("%d",&z),ans = -Inf,Ps(1,x,y,1,n,z,0,ans),printf("%d\n",ans);
        if(f == 5) scanf("%d",&z),ans = Inf,Ps(1,x,y,1,n,z,1,ans),printf("%d\n",ans);    

        //printf("%d!!!\n",size[rt[1]]);

    }
    return 0;
}

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2B平衡樹肯定要舔一發2B小姐姐。嗯。