狀壓DP

狀壓DP

咱都是用下標表示狀態。然而，如果一個狀態有20個下標，但只表示一個01值，難道要用20維數組嗎？

不成！

電腦裏數字都是二進制，即一個01串，就可以用一個數表示20位的狀態。這個狀態也可以是有20個元素的集合，所以《挑戰程序設計競賽》中叫它“針對集合的動態規劃”。

理論上，下標都是unsighed int 型，而unsighed int 型是32位的，也就是能表示32維的狀態。不過這樣佔內存很大，當32位都是1時，就會有232 =4294967296這麼大的數組，早炸了。

一般題目都是16位的。

對集合的一些操作

• 空集 ∅ 0
• 單元素集 { i } 1<<i //從0開始標號
• 全集 U (1<<n)-1 //有n個元素
• 從集合S中取元素 i (s>>i)&1
• 並集 S∪T s|t
• 交集 S∩T s&t
• 從集合S中加入元素 i s|(1<<i)
• 從集合S中去除元素 i s&~(1<<i)
• 枚舉全集U的子集 for(int s=1;s<(1<<n);s++)
• 枚舉集合S的子集 for(int S0=S;S0;S0=(S0-1)&S)

• 枚舉全集中大小爲k的子集

  //抄的p156
  int comp=(1<<k)-1;
  while(comb<(1<<n)){ 
  //comb就是子集，處理它
  
  int x=comb&-comb,y=comb+x;//lowbit(comb)?
  comb=((comb&~y)/(x>>1))|y;
  }
  //一臉懵逼……
  

(來自《挑戰程序設計競賽》p156和藍書p70)

幾道題

經典的

UVa 10817 Headmaster’s Headache
——題意來自藍書p95——
某校有n個教師和m個求職者，已知每人的工資和能教的課程集合，要求支付最少的工資使得每門都至少有兩名教師教學，在職教師必須招聘。

輸入包含多組數據，每組第一行爲3個整數s,m,n，科目個數1<=s<=8，在職教師數1<=m<=20，求職者數1<=n<=100；以下m行每行描述一個在職教師，其中第一個整數c (10 000<=c<=50 000)是工資，接下來的若干整數是他的科目列表；接下來n行是申請者，格式相同，結束標誌是s=0。

UVa的輸入比較坑……
——下面是我瞎想的——
s不是1～8麼，而且是兩名教師，就可以把它“翻倍”，低8位是第一個教本科目的，高8位是第二個教本科目的，有一個就把低8位對應的變1，有兩個就把高8位對應的變1，然後就是01揹包啦～
還可以改爲低s位高s位（大數據相當於沒改），當高位有了時把低位置0。不過比較麻煩，其實內存還是可以接受的（(216−1)∗20=1310720 ）。

瞎搞的

洛谷 P2704 炮兵陣地
這一題不是很經典，但也與狀壓有關

他把一行壓成一個數！
他把一行壓成一個數！
他把一行壓成一個數！

然後，這有兩個騷操作，其一是移一位再與，判斷有無相鄰兩個1，同理移兩位，判隔一個的。自己與自己，就是橫行；自己與上面，就是豎列。其二是篩選可能的方案數。其實這類方法很常見的，就是重複使用的東西先預處理出來，隨時取用。
O(n∗23∗m )(可能並不準)

P2704代碼

//p2704
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=105;
int mp[N],f[N][N][N],met[N],cnt[N],mcnt;
//f[i][j][k]:第i行,第i行方案j,第i-1行方案k,存最大放炮個數
//mp[i]:第i行的圖;met[i]:可能的方案method，由地圖決定
//cnt[i]:這個方案能放多少炮;mcnt:可能的方案個數
int main(){
    int n,m;
    char tmp[N];
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){  
        scanf("%s",tmp);
        for(int j=0;j<m;j++){
            mp[i]<<=1;
            if(tmp[j]=='H')
                mp[i]|=1;
            }
        }//把一橫行壓在一位裏，山丘==1
    for(int i=0;i<(1<<m);i++)
        if( (!(i&(i<<1)))&&(!(i&(i<<2))) ){
            met[++mcnt]=i;
            int tm=i;
            while(tm){
                cnt[mcnt]+=tm&1;
                tm>>=1;
                }
            }//選取所有方案，符合兩個1之間至少兩個0

    for(int i=1;i<=mcnt;i++){
        if(met[i]&mp[1])continue;
        f[1][i][1]=cnt[i];
        }//第一行方案初始化，第三維其實隨便
    for(int i=1;i<=mcnt;i++){//第一行的方案
        if(met[i]&mp[1])continue;//方案i與地圖衝突
    for(int j=1;j<=mcnt;j++){//第二行的方案
        if(met[j]&mp[2]||//方案j與地圖衝突
           met[j]&met[i])continue;//方案j與方案i衝突
        f[2][j][i]=cnt[j]+cnt[i];//方案i與j的數目總和
        }
    }

    for(int i=3;i<=n;i++){//第i行
        for(int j=1;j<=mcnt;j++){//第i行方案j
            if(met[j]&mp[i])continue;//方案i與地圖衝突
            for(int k=1;k<=mcnt;k++){//第i-1行方案k
                if(met[k]&mp[i-1]//方案k與地圖衝突
                 ||met[k]&met[j])continue;//方案k與方案j衝突
                for(int l=1;l<=mcnt;l++){//第i-2行方案l
                   if(met[l]&mp[i-2]//l與地圖衝突
                    ||met[l]&met[j]//l與j衝突
                    ||met[l]&met[k])continue;//l與k衝突                 
                   f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i-1][k][l]+cnt[j]);
                    }
                }
            }
        }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=mcnt;i++)
        for(int j=1;j<=mcnt;j++)
            ans=max(ans,f[n][i][j]);
    printf("%d",ans);

    return 0;
    }

打完已廢……