四邊形不等式

如果對於任意的a1≤a2< b1≤b2，有m[a1,b1]+m[a2,b2]≤m[a1,b2]+m[a2,b1]，那麼m[i,j]滿足四邊形不等式。

所以這是一個求(xuan)騙(xue)的東西。

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定理

對方程

m(i,j)=min{m(i,k−1),m(k,j)}+w(i,j)(i≤k≤j)

且s(i,j)表示m(i,j)取得最優值時對應的下標，有：

• 區間包含的單調性：如果對於i≤i’< j≤j’，有w(i’,j)≤w(i,j’)，那麼說明w具有區間包含的單調性。
  
• 四邊形不等式：如果對於i≤i’< j≤j’，有w(i,j)+w(i’,j’)≤w(i’,j)+w(i,j’)，我們稱函數w滿足四邊形不等式。
  
  藍線長和≤紅線長和

• 定理一：如果上述的w函數同時滿足區間包含單調性和四邊形不等式性質，那麼函數m也滿足四邊形不等式性質。

• 定理二：假如m(i,j)滿足四邊形不等式，那麼s(i,j)單調，即s(i,j)≤s(i,j+1)≤s(i+1,j+1)。

然後k的範圍就從 [ i , j ] 變成了[ s(i,j-1) , s(i+1,j) ]，像這樣：

m[1,3]取s[1,2]和s[2,3]，
m[2,5]取s[ 2,4]=3，s[3,5]=3，相當於直接取3。
（然後記s[2,5]=3）
少了一重循環！！！

完美解釋了OBST問題！！！
（其實就是套定理）

題目

NOI 1995 石子合併
(洛谷 P1880)
n<=100……如果n<=1000呢？
100的O(n3) 還能過，1000的就得O(n2) 了。

環形的……也不懼……
但最大值不單調，不能用四邊形不等式
不過最大值可以兩個端點的最大者取得。

詳解

題解 by myself

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[2005],sum[2005];
int fmi[2005][2005],fma[2005][2005],
    smi[2005][2005];

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        a[i+n]=a[i];
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        smi[i][i]=i;
        }
    for(int i=1+n;i<=(n<<1);i++){
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        smi[i][i]=i;
        }
    for(int i=(n<<1)-1;i;i--)
        for(int j=i+1;j<=(n<<1);j++){
            int jc=0,tmp=0x3f3f3f3f;
            fma[i][j]=max(fma[i][j-1],fma[i+1][j])+sum[j]-sum[i-1];
            /*注意這句，
              求最大值不能用四邊形不等式，
              因爲最大值不滿足單調性，
              但最大值有一個性質，
              即總是在兩個端點的最大者中取到。
            */
            for(int k=smi[i][j-1];k<=smi[i+1][j];k++){
                int tt=fmi[i][k]+fmi[k+1][j]+(sum[j]-sum[i-1]);
                if(tt<tmp){
                    tmp=tt;
                    jc=k;
                    }
                }
            smi[i][j]=jc;
            fmi[i][j]=tmp;
            }
    int ama=0,ami=0x3f3f3f3f;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ama=max(ama,fma[i][i+n-1]);
        ami=min(ami,fmi[i][i+n-1]);
        }
    printf("%d\n%d",ami,ama);

    return 0;
    }