3D數學讀書筆記——矩陣基礎

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矩陣是3D數學的重要基礎，它主要用來描述兩個座標系統間的關係，通過定義一種運算而將一個座標系中的向量轉換到另一個座標系中。

在線性代數中，矩陣就是一個以行和列形式組織的矩形數字塊。向量是標量的數組，矩陣則是向量的數組。

 

矩陣的維度和記法

矩陣的維度被定義爲它包含了多少行和多少列，一個 r * c 矩陣有 r 行、c 列。

矩陣的記法：

mij表示M的第i行第j列元素。矩陣的下標從1開始，所以第一行和第一列都用數字1。

 

方陣

行數和列數相同的矩陣稱作方陣。

方陣的對角線元素就是方陣中行號和列號相同的元素。其他元素均爲非對角線元素。簡單的說方陣對角線元素就是方陣對角線上的元素。

如果所有非對角線元素都爲0，那麼稱這種矩陣爲對角矩陣。

單位矩陣是一種特殊的對角矩陣。n維單位矩陣記作In，是n*n矩陣，對角線元素爲1，其他元素爲0。

單位矩陣非常特殊，因爲它是矩陣的乘法單位元。其基本性質是用任意一個矩陣乘以單位矩陣，都將得到原矩陣。所以在某種意義上，單位矩陣的作用就像1對於標量的作用。

 

向量與矩陣

矩陣的行數和列數可以是任意正整數，當然也包括1。向量也可以看做是一行或是一列的矩陣。

一個n維向量能被當作1*n 矩陣或 n*1矩陣。1*n 矩陣被稱作行向量，n*1矩陣被稱作列向量。

ps：混合使用向量和矩陣時，必須特別注意向量到底是行向量還是列向量。

 

矩陣的轉置（當年學習線性代數的時候，很是覺得這個轉置什麼的沒什麼用處。。。）

一個 r*c矩陣 M。M的轉置記作 ，是一個 c*r矩陣，它的列由M的行組成。形式上可理解爲，沿着矩陣的對角線翻折。

對於向量來說，轉置將使行向量變成列向量，使列向量成爲行向量。

關於矩陣轉置的引理：

（1）對於任意矩陣M，=M。從另一個方面來說，將一個矩陣轉置後，再轉置一次，便會對到原矩陣。

（2）對於任意對角矩陣D，都有=D，包括單位矩陣 I 也如此。

 

標量和矩陣的乘法

矩陣M能和標量k相乘，結果是一個和M維數相同的矩陣。

 

矩陣乘法

記 r*n矩陣 A 與 n*c 矩陣B 的積  r*c矩陣 AB爲 C 。C的任意元素Cij等於A的第i行向量與B的第j列向量點乘的結果。

3*3矩陣乘法

ps：(1)任意矩陣M乘以方陣S，不管從哪邊乘，都將得到與原矩陣大小相同的矩陣。如果S是單位矩陣，結果將是原矩陣M，即MI = IM = M。

    (2)矩陣乘法不滿足交換律，即AB≠BA。

    (3)矩陣乘法滿足交換律，即(AB)C=A(BC)。

 
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 參考文獻：（1）《3D Math Primer for Graphics and Game Development》

                 （2）百度百科