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前面有一篇文章討論過多座標系的問題。有的人可能會問我那麼多座標系，它們之間怎麼關聯呢？嘿嘿~這次的內容可以爲解決這個問題打基礎奧！
線性變換基礎（3D數學編程中，形式轉換經常是錯誤的根源，所以這部分大家要多多思考，仔細運算）
一般來說，方陣（就是行和列都相等的矩陣）能描述任意的線性變換，所以後面我們一般用方陣來變換
其實簡單的說，線性變換就是保留直線和平行線，原點沒有移動，而其他的幾何性質，如長度、角度、面積和體積可能被改變。
從視覺的直觀角度上講，線性變換可能“拉伸”座標系，但不會“彎曲”和“卷折”座標系（畢竟是“線性”的變換嘛，不然可能就叫做曲線變換了）。
下面先引入一個直觀的變換例子：
先在單位基向量處畫一個茶壺
然後我們給出一個變換矩陣
然後我們讓這個茶壺的座標按上面的矩陣經行變換
這個變換包含z軸順時針旋轉45°和不規則縮放。
在討論具體的變換之前，還必須要搞清楚，我們到底要變換什麼。在這裏我們所提到的變換，其內容主要就兩個：變換物體和變換座標系。
變換物體，意味着變換物體上所有的點，這這點將被移動到一個新的位置，我們仍使用同一座標系來描述變換前和變換後的位置。
變換座標，意味着物體上的點實際沒有移動，我們只是在另外一個座標系中描述它的位置而已。
其實這兩種變換實際上是等價的，將物體變換一個量等價於將座標系變換一個相反的量。
ps:下面我們實現的變換都是物體變換
旋轉
2D中繞原點旋轉的參數只有一個：角度θ，它描述了旋轉量。（逆時針旋轉經常被認爲是正方向，順時針方向時負方向）
根據幾何知識我們可知旋轉矩陣應該爲
在3D場景中，一般都是繞軸旋轉，並且在繞軸旋轉θ°時，必須知道哪個方向別認爲“正”，哪個方向被認爲“負”。
在左手座標系中定義此方向的規則爲左手規則
| 左手座標系 | ||
| 從哪裏看 | 正方向 | 負方向 |
| 從軸的負端點向正端點看 | 逆時針 | 順時針 |
| 從軸的正端點向負端點看 | 順時針 | 逆時針 |
繞軸變換中最爲常見的就是繞座標軸旋轉
X軸
可得到變換矩陣
同理得到Y軸和Z軸的變換公式
Y軸
Z軸
ps：對於任意軸的旋轉，可能等我們學完了平移，將任意軸平移旋轉至座標軸變換後在移後即可。
縮放
通過比例因子K按比例變大或縮小來縮放物體。
如果在各方向應用同比例的縮放，且沿原點“擴張”物體，那麼就是均勻縮放。（均勻縮放可以保持物體的角度和比例不變）
如果需要擠壓或拉伸物體，在不同方向應用不同的因子即可，這稱作非均勻縮放。（非均勻縮放時，物體角度將發生變化）
ps：如果 |k|<1 ，物體將變短，如果 |k|>1，物體變長。如果 |k|=0，就是正交投影。
最簡單的縮放方法是沿着每個座標軸應用單獨的縮放因子。
2D中有兩個縮放因子，
縮放實例
對於3D，需要增加第三個縮放因子
正交投影（平行投影）（投影意味着降維操作）
有一種投影方法是在某個方向上用零作爲縮放因子。這種情況下，所有點都被拉平至垂直的軸或平面上，這種投影稱作正交投影。
最簡單的投影方式是向座標軸或平面投影。
在2D環境下，向 x 軸投影
在2D環境下，向 y 軸投影
在3D環境下，向 xy 平面投影、向xz平面投影和向yz平面投影的矩陣
正交投影效果圖
鏡像（反射）
鏡像是一種變換，起、其作用是將物體沿直線，或平面翻折。
ps：一個物體只能鏡像一次，如果再次鏡像物體將翻回正面，這和在原位置旋轉物體的效果一樣了。
在2D環境下，沿任意軸鏡像的矩陣爲
其中向量n爲任意軸方向的單位向量，例如如果任意軸爲x軸，則n=(1,0)，所以關於x軸的鏡像矩陣爲
在3D環境下，沿任意軸鏡像的矩陣爲
切變
切變是一種座標系“扭曲”變換，非均勻地拉伸它。這是一種很少用到的變換，它也被稱作扭曲變換。
切變的時候角度會發生變化，但是令人驚奇的是面積和體積卻保持不變。
切變的基本實現思想是，某一座標的乘積加到另一個座標上去：x' = x + sy。
在2D環境下，x座標根據座標y以參數s控制切變方向和向量的切變矩陣
在2D環境下，y座標根據座標x以參數s控制切變方向和向量的切變矩陣
3D座標中的切變矩陣兩個座標軸別另一個座標軸改變的矩陣
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參考文獻：（1）《3D Math Primer for Graphics and Game Development》
（2）百度百科