【NOI2009】Bzoj1562&Codevs1843 變換序列
Position：
List
Description
Input
輸入文件 transform.in 的第一行包含一個整數 N,表示序列的長度。接下來的
一行包含 N 個整數 D i ,其中 D i 表示 i 和 T i 之間的距離。
Output
輸出文件爲 transform.out。
如果至少存在一個滿足要求的變換序列 T,則輸出文件中包含一行 N 個整數,
表示你計算得到的字典序最小的 T;否則輸出”No Answer”(不含引號)。注意:
輸出文件中相鄰兩個數之間用一個空格分開,行末不包含多餘空格。
Sample Input
5
1 1 2 2 1
Sample Output
1 2 4 0 3
HINT
30%的數據中 N≤50;
60%的數據中 N≤500;
100%的數據中 N≤10000。
Solution
觀察題中給的式子，發現每個位置可以填兩個數，但只能填一個數，求是否每個位置可以填上一個不重複的0~n-1的數，並保證字典序最小，也就是填在前面的數要儘量小。
最小字典序的匈牙利，貪心發現可以倒着來跑匈牙利，保證對於當前位置的數儘量小，替換掉的是後面的數，後面的數也保證了儘量小。而正着來後面的數可能會替換掉之前的數，不滿足字典序最小。
官方題解%莫隊
Transform解題報告
湖南省長郡中學 莫濤
【題目大意】
給定n和{Ti}，求一個字典序最小的0..n-1的排列{Pi}，使{Pi}滿足{，或指出無解。
n<=10000。
【解法分析】
不難看出，所給限制即i與Pi的環上距離爲Ti，故對於任意i，至多存在兩個Pi（從i順時針或逆時針移動Ti距離）滿足限制。
構建二分圖模型，以0,1..n-1爲X節點，0,1..n-1爲Y節點，若Pi=j滿足限制則由X的i節點向Y的j節點連一條邊，則問題轉化爲判斷是否存在完備匹配，若存在則求出字典序最小的匹配方案。
【算法一】
首先使用匈牙利算法求解，若不存在完備匹配則返回無解，否則按如下流程調整使得求得字典序最小解：
for do
·if i與ai,bi(ai>bi)有邊且i與ai匹配 then
·刪去匹配邊(i,ai)並暫時禁用該邊
·令j爲原來與bi匹配的點
·將i與bi匹配
·if 從j出發可以找到增廣路 then
·保留該次增廣，並在以後的增廣中禁止改變匹配邊(i,bi)
·else 還原上述改動
該算法的核心思想即利用字典序比較的特性，從前往後嘗試改小每一位，若更改後剩餘部分存在可行解則永久保留該次更改，否則撤銷。
由於每個點至多有兩條出邊，故只在取了匹配了編號較大的點時嘗試匹配編號較小的點，而剩下部分有可行解的條件爲存在完備匹配，若直接用匈牙利算法求解則時間複雜度爲O(n^3)，但我們知道：
對於任意殘量網絡，使用增廣路算法均可求得最大流（最大匹配）。
而對於任意k(k>i)，k均已匹配，故只需從i出發尋找增廣路即可，這樣時間複雜度就是O(n^2)了，可以通過測試數據。
【算法二】
考慮到該圖非常特殊（X節點出度至多爲2），可以從圖論的角度求解。
首先，如果存在度爲1的點，那麼可以直接確定匹配，故可以使用隊列持續刪去度爲1的點及其確定的匹配點及於它們相關的邊，直到不存在度爲1的點。
然後，如果此時存在度爲0的解，那麼可以直接返回無解。
最後，由於所有的X節點度大於1且不大於2，故度均爲2；而所有Y節點度大於1且∑d(X)=∑d(Y)，故所有Y節點度均爲2。
一個所有點度均爲2的圖必然是若干不相交的環。而一個環中只存在兩種匹配方案，直接選擇較小者即可。
該算法時間複雜度僅爲O(n)。
【算法三】
算法二雖然優秀但實現較繁瑣，不妨將其與算法一結合起來。
考慮直接使用二分圖匹配，對於算法二種在第一步刪去的點，必然能求出正確的匹配，解不優只會發生在環中。嘗試改進匹配算法：
從大到小增廣點i，尋找增廣路時優先走向編號較小的點。
證明：
1.對於任一環，匹配的最後結果由最後增廣的點決定，由上述算法的特性知，一定會找到該環內的最優解。
2.對於環外一點，若存在經過該環的增廣路，則該環內某X節點存在連向環外的邊，那麼它的度數超過2，矛盾，故不會因爲環外某點的增廣使得該環的匹配方案改變。
雖然該算法時間複雜度爲O(n^2)，但思維複雜度與編程複雜度均很低，不失爲考場上的好算法。
【小結】
算法一具有普適性，其核心思想也廣泛應用於求字典序最小方案的各種問題中；算法二充分挖掘了本題中圖的特殊性，時間複雜度達到理論下界；算法三主要利用了貪心思想，非常簡潔，但其證明卻不是那麼顯然。
值得一提的是，算法三的正確性是基於該圖的特殊性的，因而缺少可推廣性，即不能解決一般二分圖的字典序最小的匹配，下圖即一個反例：
此外，本題還可以利用2-SAT模型求解，但該模型在各方面均不優於二分圖模型，故略去不提。
Code
// <transform.cpp> - Fri Sep 23 08:09:06 2016
// This file is made by YJinpeng，created by XuYike's black technology automatically.
// Copyright (C) 2016 ChangJun High School, Inc.
// I don't know what this program is.
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define MOD 1000000007
#define INF 1e9
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN=100010;
const int MAXM=100010;
inline int max(int &x,int &y) {return x>y?x:y;}
inline int min(int &x,int &y) {return x<y?x:y;}
inline int gi() {
register int w=0,q=0;register char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')q=1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')w=w*10+ch-'0',ch=getchar();
return q?-w:w;
}
int n,k,t[5],match[MAXN];
vector<int>b[MAXN];bool f[MAXN];
void work(int i,int a){
int b=i+a;
if(b<n)t[++k]=n+b;b=i-a;
if(b>=0)t[++k]=n+b;
}
inline void add(int v,int u){
b[u].push_back(v);b[v].push_back(u);
}
inline bool dfs(register int x){
if(f[x])return 0;
int num=b[x].size();f[x]=true;
for(int i=0;i<num;i++){
int nex=b[x][i];
if(match[nex]==-1||dfs(match[nex])){
match[x]=nex;match[nex]=x;f[x]=0;return 1;
}
}f[x]=0;
return 0;
}
void pri(){printf("No Answer");exit(0);}
int main()
{
freopen("transform.in","r",stdin);
freopen("transform.out","w",stdout);
n=gi();
for(int i=0;i<n;i++){
k=0;int a=gi();work(i,a);
work(i,n-a);
sort(t+1,t+1+k);for(int o=1;o<=k;o++)add(i,t[o]);
}
for(int i=0;i<MAXN;i++)match[i]=-1;
for(int i=n-1;i>=0;i--)
if(match[i]==-1)if(!dfs(i))pri();
for(int i=0;i<n-1;i++)printf("%d ",match[i]-n);
printf("%d",match[n-1]-n);
return 0;
}