算法詳解——樹分治

樹分治

一句話講，把分治做到樹上。

樹分治首先要把無根樹轉成有根樹（如果是無根樹，當然有根樹就直接分治），即找一個點Root$Root$ 作爲根。

如何找根？

爲了分治的時效，我們需要分治的層數越少越好，於是想讓找到的根下最大子樹的節點越少越好，我們便可以用一趟dfs$dfs$ 來刷。
這裏需要了解幾個數組：Fi$F_i$ 表示i$i$ 節點下最大子樹的節點數，Sizei$Siz{e}_i$ 表示i$i$ 節點所在子樹的節點數。
我們在遍歷到j$j$ 這個點時，Sizefaj+=Sizej$Siz{e}_{f{a}_j}+=Siz{e}_j$ ，Ffaj=max{Sizej}$F_{f{a}_j}=max\{Siz{e}_j\}$ 。因爲用dfs$dfs$ ，所以逆推就好了。

void getrt(int x,int fa){ //找根
    F[x]=0;Size[x]=1; //初始化
    for (int i=lnk[x];i;i=nxt[i]){ //遍歷下一個點
        if (vis[son[i]]||son[i]==fa) continue; //防止循環
        getrt(son[i],x); //dfs下去
        Size[x]+=Size[son[i]];
        F[x]=max(F[x],Size[son[i]]); //修正
    }
    F[x]=max(F[x],Sum-Size[x]); //Sum是整棵樹的節點數，也就是Sum=N
    if (F[x]<F[Root]) Root=x; //修改Root
}

注意，代碼中有一句F[x]=max(F[x],Sum-Size[x]);，是因爲x$x$ 節點沒法遍歷到fa$fa$ 節點，但是以x$x$ 爲根，fa$fa$ 節點所在的子樹沒有被統計，所以最後要補上一道。
PS：所求的點又叫重心

正題

現在進入正題——樹分治
我們可以把樹上的每個節點看成一個人，整棵樹看成一個公司，老闆（根節點）有一項任務，於是找來了所有部門，把任務下發；而每個部門又可以看成一棵樹，部長（子樹的根節點）找來了該部門的所有員工，把任務下發，以此類推。這樣就是分治。
那麼接下來就很簡單了。從根節點開始，下面每個節點找一下重心，繼續分治下去即可。

inline void Solve(int x){ //分治
    vis[x]=1;
    for (int i=lnk[x];i;i=nxt[i]){
        if (vis[son[i]]) continue; //已經分過了就不要再分，防止循環
        Root=0;Sum=Size[son[i]]; 
        //初始化，這裏Sum=Size[son[i]]，是因爲這棵子樹從整棵樹上摘下來，也就是公司不管部門的事
        getrt(son[i],0); //找子樹的重心
        Solve(Root); //繼續分下去
    }
}

好了，沒了，就這麼簡單。

例題

poj1741 Tree
bzoj2152聰聰可可 雙倍經驗
洛谷

還有一種邊分治，但我這種蒟蒻555