【線段樹】【cogs775】山海經

775.山海經

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【問題描述】

“南山之首日鵲山。其首日招搖之山，臨於西海之上，多桂，多金玉。有草焉，其狀如韭而青華，其名日祝餘，食之不飢……又東三百里，日堂庭之山，多棪木，多白猿，多水玉，多黃金。

又東三百八十里，日猨翼之山，其中多怪獸，水多怪魚，多白玉，多蝮蟲，多怪蛇，名怪木，不可以上。……”

​ 《山海經》是以山爲綱，以海爲線記載古代的河流、植物、動物及礦產等情況，而且每一條記錄路線都不會有重複的山出現。某天，你的地理老師想重遊《山海經》中的路線，爲了簡化問題，老師已經把每座山用一個整數表示他對該山的喜惡程度，他想知道第a座山到第b座山的中間某段路(i,j)​$(i,j)$ 。能使他感到最滿意，即(i,j)​$(i,j)$ 這條路上所有山的喜惡度之和是(c,d)​$(c,d)$(a≤c≤d≤b)​$(a\le c\le d\le b)$ 最大值。於是老師便向你請教，你能幫助他嗎?值得注意的是，在《山海經》中，第i​$i$ 座山只能到達第i+1​$i+1$ 座山。

【輸入】

輸入第1行是兩個數，n$n$ ，m$m$ ，2≤n≤100000$2\le n\le 100000$ ，1≤m≤100000$1\le m\le 100000$ ，n$n$ 表示一共有n$n$ 座山，m$m$ 表示老師想查詢的數目。

第2行是n$n$ 個整數，代表n$n$ 座山的喜惡度，絕對值均小於10000$10000$ 。

以下m$m$ 行每行有a$a$ ，b$b$ 兩個數，1≤a≤j≤b≤m$1\le a\le j\le b\le m$ ，表示第a$a$ 座山到第b$b$ 座山。

【輸出】

一共有m$m$ 行，每行有3個數i$i$ ，j$j$ ，s$s$ ，表示從第i$i$ 座山到第j$j$ 座山總的喜惡度爲s$s$ 。顯然，對於每個查詢，有a≤i≤j≤b$a\le i\le j\le b$ ，如果有多組解，則輸出i$i$ 最小的，如果i$i$ 也相等，則輸出j$j$ 最小的解。

【輸入樣例】

5 3
5 -6 3 -1 4
1 3
1 5
5 5

【輸出樣例】

1 1 5
3 5 6
5 5 4

【題解】

題目大意：給定N$N$ 個數，求[L,R]$[L,R]$ 區間的最大連續子序列的左端點，右端點以及它的和。

首先考慮DP，DP可以快速求[1,R]$[1,R]$ 區間的最大連續子序列，但對於[L,R]$[L,R]$ 區間的情況就束手無策了。

想到區間問題有很多用線段樹求，那麼我們就可以用線段樹來做這道題。

令f(L,R)$f(L,R)$ 爲[L,R]$[L,R]$ 區間的最大連續子序列的和，那麼f(L,R)=max{f(L,mid),f(mid+1,R)}$f(L,R)=max\{f(L,mid),f(mid+1,R)\}$ 。

碼一遍代碼，發現連樣例都過不去，仔細想，如果f(L,R)=f(i,j)$f(L,R)=f(i,j)$ 且i<mid,j>mid$i<mid,j>mid$ ，那麼這樣沒有算到。

那我們再定義SumL(L,R),SumR(L,R)$Su{m}_L(L,R),Su{m}_R(L,R)$ ，分別爲從R$R$ 往前推的最大連續子序列的和，從L$L$ 往後推的最大連續子序列的和，因爲線段樹的性質，可得這段子序列的左端點≥L$\ge L$ ，右端點≤R$\le R$ ，那麼f(L,R)=max{SumL(L,mid)+SumR(mid+1,R)},mid=L+R2$f(L,R)=max\{Su{m}_L(L,mid)+Su{m}_R(mid+1,R)\},mid=\frac{L+R}{2}$

這樣就把所有情況考慮到了。

對於維護SumL(L,R)$Su{m}_L(L,R)$ ，
易得SumL(L,R)=max{SumL(L,mid),Sum(L,mid)+SumL(mid+1,R)}，mid=L+R2$Su{m}_L(L,R)=max\{Su{m}_L(L,mid),Sum(L,mid)+Su{m}_L(mid+1,R)\}，mid=\frac{L+R}{2}$
其中Sum(L,R)$Sum(L,R)$ 是L$L$ 到R$R$ 的子序列和。

SumR(L,R)$Su{m}_R(L,R)$ 同理。

又因爲需要知道左右端點，再開4個量維護SumL(L,R)$Su{m}_L(L,R)$ 這段子序列的左端點，SumR(L,R)$Su{m}_R(L,R)$ 這段子序列的右端點，以及f(L,R)$f(L,R)$ 的左右端點即可。

那麼這道題就完美解決了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct ad{
    //L,R表示這個節點覆蓋的線段的左端點和右端點，但因爲是線段樹，可以快速得出L和R的值，在此就不定義了 
    int LSum,RL; //LSum表示從L往後，最大的連續喜惡值之和，RL表示LSum這段連續子序列的右端點 
    int RSum,LR; //RSum表示從R往前，最大的連續喜惡值之和，LR表示RSum這段連續子序列的左端點
    int Sum; //Sum爲L到R的數字之和 
    int Max,LMax,RMax; //Max表示L到R中最大的連續喜惡值之和，LMax表示這段連續子序列的左端點，RMax表示這段連續子序列的右端點 
    inline void newnode(int data,int id){LSum=RSum=Sum=Max=data;RL=LR=LMax=RMax=id;}
    //給節點賦初值，因爲只有l==R時需要賦初值，所以LSum,RSum,Sum,Max都等於A[L]，RL,LR,LMax,RMax都等於L 
}T[400005];
int N,M,A[100005];
inline int read(){
    int Res=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch>'9'||ch<'0') f=(ch=='-')?-f:f,ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') Res=Res*10+ch-'0',ch=getchar();
    return Res*f;
}
inline void updata(ad &P,ad A,ad B){ //更新 
    P.LSum=A.LSum;P.RL=A.RL;
    P.RSum=B.RSum;P.LR=B.LR;
    P.Sum=A.Sum+B.Sum;
    P.Max=A.Max;P.LMax=A.LMax;P.RMax=A.RMax;
    if (A.Sum+B.LSum>P.LSum) P.LSum=A.Sum+B.LSum,P.RL=B.RL;
    if (B.Sum+A.RSum>P.RSum) P.RSum=B.Sum+A.RSum,P.LR=A.LR;
    if (A.RSum+B.LSum>P.Max){//題目要求有多組解輸出i最小的，所以先判這一段
        P.Max=A.RSum+B.LSum;
        P.LMax=A.LR;P.RMax=B.RL;
    }
    if (B.Max>P.Max){
        P.Max=B.Max;
        P.LMax=B.LMax;P.RMax=B.RMax;
    }
}
inline void build(int p,int L,int R){
    if (L==R){T[p].newnode(A[L],L);return ;}
    int mid=(R+L)>>1;
    if (L<=mid) build(p<<1,L,mid);
    if (R>mid) build(p<<1|1,mid+1,R);
    updata(T[p],T[p<<1],T[p<<1|1]);
}
inline ad query(int p,int L,int R,int qL,int qR){ //qL,qR表示詢問的L,R 
    if (qL==L&&qR==R) return T[p];
    if (L==R) return T[p];
    int mid=(L+R)>>1;
    if (mid>=qR) return query(p<<1,L,mid,qL,qR); //如果 [L,mid] 區間包含 [qL,qR] 就直接跑下去 
    if (qL>mid) return query(p<<1|1,mid+1,R,qL,qR); //如果 [mid+1,R] 區間包含 [qL,qR] 就直接跑下去 
    ad Ans1=query(p<<1,L,mid,qL,mid),Ans2=query(p<<1|1,mid+1,R,mid+1,qR),Ans; //有交錯區間就和普通線段樹一樣，刷最大的 
    updata(Ans,Ans1,Ans2);
    return Ans;
}
int main()
{
    freopen("hill.in","r",stdin);
    freopen("hill.out","w",stdout);
    N=read();M=read();
    for (int i=1;i<=N;i++) A[i]=read();
    build(1,1,N);
    for (int i=1;i<=M;i++) {
        int L=read(),R=read();
        ad Res=query(1,1,N,L,R);
        printf("%d %d %d\n",Res.LMax,Res.RMax,Res.Max);
    }
    return 0;
}