函数与极限笔记

1. 函数极限定义注意前提：设函数 f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义。因此limx→0f(x) 存在与否，与 f(0) 的值无关。

2. 单侧极限证明方式：
   存在左极限
   

   limx→x0¯f(x)=A或f(x0¯)=A,
   
   同时存在右极限
   
   limx→x+0f(x)=A或f(x+0)=A,
   
   并且
   
   f(x0¯)=f(x+0)
   
   则 limx→x0f(x) 存在。

3. 当 x 在某一定义域内无定义，则 limf(x) 不存在。

4. 两种常用极限简化计算方式：

   1. 当 x→∞ 时，分母中包含自变量与常数时，常数可约去，方便计算，即：
      
      1x2+1<1x2
   2. 当 x→固定值 时，限定 ε 为固定值进行计算，从而找到 δ 的值。

5. 铅直渐近线：如果 limx→x0f(x)=∞ ，那么直线 x=x0 是函数 y=f(x) 的图形的铅直渐近线。

6. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

7. 求分数极限，除特殊表达式外，当分数不可约分且分数无限趋近于0时，f(x) 无限趋近于0。

8. limx→∞axn=alimx→∞1xn=a(limx→∞1x)n=0，其中a为常数，n为正整数，limx→∞1x=0

9. 两个重要极限：

   1. limx→0sinxx=1

   2. limx→∞(1+1x)x=e

10. 夹逼准则 – 函数极限：如果
    

    1.当x∈⋃o(x0,r)（或|x|>M）时，g(x)⩽f(x)⩽h(x);2.limx→x0(x→∞)g(x)=A，limx→x0(x→∞)h(x)=A,
    
    那么
    
    limx→x0(x→∞)f(x)
    
    存在，且等于A。

11. 等价无穷小：如果 limβα=1 ，那么就说 β 与 α 是等价无穷小，记作 α∼β 。几种常用的等价无穷小转换如下：

    1. 当 x→0 时，
       

       1+x−−−−−√n−1∼1nx,sinx∼x,tanx∼x,arcsinx∼x,1−cosx∼12x2

    2. 后续将继续补充。