R語言中的常用連續型分佈

前言
1.大部分參考張丹(Conan)的R的極客理想系列文章《概率基礎和R語言》，對此表示感謝。
（http://blog.fens.me/r-density/）
2.補充、解釋和學習，記錄並便於今後的查詢。

目錄

1.正態分佈
2.指數分步
3.γ(伽瑪)分佈
4.weibull分佈
5.F分佈
6.T分佈
7.β(貝塔)分佈
8.χ²(卡方)分佈
9.均勻分佈

一、正態分佈

正態分佈(Normal distribution)又名高斯分佈(Gaussian distribution)，是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈，在統計學的許多方面有着重大的影響力。

若隨機變量X服從一個數學期望爲μ、方差爲σ^2的正態分佈，記爲N(μ，σ^2)。其概率密度函數爲正態分佈的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分佈的幅度。因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之爲鐘形曲線。我們通常所說的標準正態分佈是μ = 0,σ = 1的正態分佈。

1.概率密度函數

set.seed(1)
x <- seq(-5,5,length.out=100)
y <- dnorm(x,0,1)

plot(x,y,col="red",xlim=c(-5,5),ylim=c(0,1),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Normal Density Distribution")

lines(x,dnorm(x,0,0.5),col="green")
lines(x,dnorm(x,0,2),col="blue")
lines(x,dnorm(x,-2,1),col="orange")

legend("topright",legend=paste("m=",c(0,0,0,-2)," sd=", c(1,0.5,2,1)), lwd=1, col=c("red", "green","blue","orange"))


#
1.set.seed()，該命令的作用是設定生成隨機數的種子，種子是爲了讓結果具有重複性。如果不設定種子，生成的隨機數無法重現。
2.seq(from=1.75,to=5.25,length.out=5)建立一個包括1.75和5.25在內的等差數列，且數列長度爲5
3.dnorm是正態分佈的概率密度函數

2.累積分佈函數

set.seed(1)
x <- seq(-5,5,length.out=100)
y <- pnorm(x,0,1)

plot(x,y,col="red",xlim=c(-5,5),ylim=c(0,1),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Normal Cumulative Distribution")

lines(x,pnorm(x,0,0.5),col="green")
lines(x,pnorm(x,0,2),col="blue")
lines(x,pnorm(x,-2,1),col="orange")

legend("bottomright",legend=paste("m=",c(0,0,0,-2)," sd=", c(1,0.5,2,1)), lwd=1,col=c("red", "green","blue","orange"))

#
1.pnorm是分佈函數

3.分佈檢驗

（1）Shapiro-Wilk正態分佈檢驗:

用來檢驗是否數據符合正態分佈，類似於線性迴歸的方法一樣，是檢驗基於迴歸曲線的殘差。該方法推薦在樣本量很小的時候使用，樣本在3到5000之間。

該檢驗原假設爲H0:數據集符合正態分佈，統計量W爲：

統計量W 最大值是1，越接近1，表示樣本與正態分佈匹配

p值，如果p-value小於顯著性水平α(0.05)，則拒絕H0

R語言程序

> set.seed(1)
> S<-rnorm(1000)
> shapiro.test(S)
    Shapiro-Wilk normality test
data:  S
W = 0.9988, p-value = 0.7256

結論: W接近1，p-value>0.05，不能拒絕原假設，所以數據集S符合正態分佈！

（2）Kolmogorov-Smirnov連續分佈檢驗

檢驗單一樣本是不是服從某一預先假設的特定分佈的方法。以樣本數據的累計頻數分佈與特定理論分佈比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本取自某特定分佈。

該檢驗原假設爲H0:數據集符合正態分佈，H1:樣本所來自的總體分佈不符合正態分佈。令F0(x)表示預先假設的理論分佈，Fn(x)表示隨機樣本的累計概率(頻率)函數.

統計量D爲: D=max|F0(x) - Fn(x)|

D值越小，越接近0，表示樣本數據越接近正態分佈
p值，如果p-value小於顯著性水平α(0.05)，則拒絕H0

> set.seed(1)
> S<-rnorm(1000)
> ks.test(S, "pnorm")
    One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  S
D = 0.0211, p-value = 0.7673
alternative hypothesis: two-sided

結論: D值很小, p-value>0.05，不能拒絕原假設，所以數據集S符合正態分佈！

二、指數分佈

指數分佈是事件的時間間隔的概率，比如旅客進入機場的時間間隔、打進客服中心電話的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔等等。

1.概率密度函數

其中λ>0是分佈的一個參數，常被稱爲率參數（rate parameter）。即每單位時間發生該事件的次數。指數分佈的區間是[0,∞)。 如果一個隨機變量X 呈指數分佈，則可以寫作：X ~ Exponential（λ）。

set.seed(1)
x<-seq(-1,2,length.out=100)
y<-dexp(x,0.5)

plot(x,y,col="red",xlim=c(0,2),ylim=c(0,5),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Exponential Density Distribution")
lines(x,dexp(x,1),col="green")
lines(x,dexp(x,2),col="blue")
lines(x,dexp(x,5),col="orange")

legend("topright",legend=paste("rate=",c(.5, 1, 2,5)), lwd=1,col=c("red", "green","blue","orange"))

#
1.dexp是指數分佈的概率密度函數

2.累積分佈函數

set.seed(1)
x<-seq(-1,2,length.out=100)
y<-pexp(x,0.5)

plot(x,y,col="red",xlim=c(0,2),ylim=c(0,1),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Exponential Cumulative Distribution Function")
lines(x,pexp(x,1),col="green")
lines(x,pexp(x,2),col="blue")
lines(x,pexp(x,5),col="orange")

legend("bottomright",legend=paste("rate=",c(.5, 1, 2,5)), lwd=1, col=c("red", "green","blue","orange"))

3.分佈檢驗

（1）Kolmogorov-Smirnov連續分佈檢驗

檢驗單一樣本是不是服從某一預先假設的特定分佈的方法。以樣本數據的累計頻數分佈與特定理論分佈比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本取自某特定分佈族。

該檢驗原假設爲H0:數據集符合指數分佈，H1:樣本所來自的總體分佈不符合指數分佈。令F0(x)表示預先假設的理論分佈，Fn(x)表示隨機樣本的累計概率(頻率)函數.

統計量D爲: D=max|F0(x) - Fn(x)|

D值越小，越接近0，表示樣本數據越接近指數分佈
p值，如果p-value小於顯著性水平α(0.05)，則拒絕H0

> set.seed(1)
> S<-rexp(1000)
> ks.test(S, "pexp")
    One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  S
D = 0.0387, p-value = 0.1001
alternative hypothesis: two-sided

結論: D值很小, p-value>0.05，不能拒絕原假設，所以數據集S符合指數分佈！

三、γ(伽瑪)分佈

伽瑪分佈(Gamma)是著名的皮爾遜概率分佈函數簇中的重要一員，稱爲皮爾遜Ⅲ型分佈。它的曲線有一個峯，但左右不對稱。伽瑪分佈中的參數α，稱爲形狀參數，β稱爲尺度參數。

伽馬函數是階乘在實數上的泛化

1.概率密度函數

set.seed(1)
x<-seq(0,10,length.out=100)
y<-dgamma(x,1,2)

plot(x,y,col="red",xlim=c(0,10),ylim=c(0,2),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Gamma Density Distribution")

lines(x,dgamma(x,2,2),col="green")
lines(x,dgamma(x,3,2),col="blue")
lines(x,dgamma(x,5,1),col="orange")
lines(x,dgamma(x,9,1),col="black")

legend("topright",legend=paste("shape=",c(1,2,3,5,9)," rate=", c(2,2,2,1,1)), lwd=1, col=c("red", "green","blue","orange","black"))

2.累積分佈函數

set.seed(1)
x<-seq(0,10,length.out=100)
y<-pgamma(x,1,2)

plot(x,y,col="red",xlim=c(0,10),ylim=c(0,1),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Gamma Cumulative Distribution Function")

lines(x,pgamma(x,2,2),col="green")
lines(x,pgamma(x,3,2),col="blue")
lines(x,pgamma(x,5,1),col="orange")
lines(x,pgamma(x,9,1),col="black")

legend("bottomright",legend=paste("shape=",c(1,2,3,5,9)," rate=", c(2,2,2,1,1)), lwd=1, col=c("red", "green","blue","orange","black"))

3.分佈檢驗

(1)Kolmogorov-Smirnov連續分佈檢驗

檢驗單一樣本是不是服從某一預先假設的特定分佈的方法。以樣本數據的累計頻數分佈與特定理論分佈比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本取自某特定分佈族。

該檢驗原假設爲H0:數據集符合伽瑪分佈，H1:樣本所來自的總體分佈不符合伽瑪分佈。令F0(x)表示預先假設的理論分佈，Fn(x)表示隨機樣本的累計概率(頻率)函數.

統計量D爲: D=max|F0(x) - Fn(x)|

D值越小，越接近0，表示樣本數據越接近伽瑪分佈
p值，如果p-value小於顯著性水平α(0.05)，則拒絕H0

> set.seed(1)
> S<-rgamma(1000,1)
> ks.test(S, "pgamma", 1)
    One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  S
D = 0.0363, p-value = 0.1438
alternative hypothesis: two-sided

結論: D值很小, p-value>0.05，不能拒絕原假設，所以數據集S符合shape=1伽瑪分佈！

檢驗失敗：

> ks.test(S, "pgamma", 2)
    One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  S
D = 0.3801, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two-sided

結論:D值不夠小, p-value<0.05，拒絕原假設，所以數據集S符合shape=2伽瑪分佈！

四、韋伯分佈（Weibull distribution）

又稱韋氏分佈或威布爾分佈，是可靠性分析和壽命檢驗的理論基礎。Weibull分佈能被應用於很多形式，分佈由形狀、尺度（範圍）和位置三個參數決定。其中形狀參數是最重要的參數，決定分佈密度曲線的基本形狀，尺度參數起放大或縮小曲線的作用，但不影響分佈的形狀。

Weibull分佈通常用在故障分析領域( field of failure analysis)中；尤其是它可以模擬(mimic) 故障率(failture rate)持續( over time)變化的分佈。故障率爲：

一直爲常量(constant over time)， 那麼 α = 1， 暗示在隨機事件中發生

一直減少(decreases over time)，那麼α < 1， 暗示”早期失效(infant mortality)”

一直增加(increases over time)，那麼α > 1， 暗示”耗盡(wear out)” - 隨着時間的推進，失敗的可能性變大

#R語言中常用函數
密度函數：dweibull(x, shape, scale = 1, log = FALSE)
分佈函數：pweibull(q, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
求分位數：qweibull(p, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
生成隨機數：rweibull(n, shape, scale = 1)

1.概率密度函數

set.seed(1)
x<- seq(0, 2.5, length.out=1000)
y<- dweibull(x, 0.5)

plot(x, y, type="l", col="blue",xlim=c(0, 2.5),ylim=c(0, 6),
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Weibull Density Distribution")

lines(x, dweibull(x, 1), type="l", col="red")
lines(x, dweibull(x, 1.5), type="l", col="magenta")
lines(x, dweibull(x, 5), type="l", col="green")
lines(x, dweibull(x, 15), type="l", col="purple")
legend("topright", legend=paste("shape =", c(.5, 1, 1.5, 5, 15)), lwd=1,col=c("blue", "red", "magenta", "green","purple"))

2.累積分佈函數

set.seed(1)
x<- seq(0, 2.5, length.out=1000)
y<- pweibull(x, 0.5)

plot(x, y, type="l", col="blue",xlim=c(0, 2.5),ylim=c(0, 1.2),
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Weibull Cumulative Distribution Function")

lines(x, pweibull(x, 1), type="l", col="red")
lines(x, pweibull(x, 1.5), type="l", col="magenta")
lines(x, pweibull(x, 5), type="l", col="green")
lines(x, pweibull(x, 15), type="l", col="purple")
legend("bottomright", legend=paste("shape =", c(.5, 1, 1.5, 5, 15)), lwd=1, col=c("blue", "red", "magenta", "green","purple"))

3.分佈檢驗

（1）Kolmogorov-Smirnov連續分佈檢驗:

檢驗單一樣本是不是服從某一預先假設的特定分佈的方法。以樣本數據的累計頻數分佈與特定理論分佈比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本取自某特定分佈族。

該檢驗原假設爲H0:數據集符合weibull分佈，H1:樣本所來自的總體分佈不符合weibull分佈。令F0(x)表示預先假設的理論分佈，Fn(x)表示隨機樣本的累計概率(頻率)函數.

統計量D爲: D=max|F0(x) - Fn(x)|

D值越小，越接近0，表示樣本數據越接近weibull分佈
p值，如果p-value小於顯著性水平α(0.05)，則拒絕H0

> set.seed(1)
> S<-rweibull(1000,1)
> ks.test(S, "pweibull",1)
    One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  S
D = 0.0244, p-value = 0.5928
alternative hypothesis: two-sided

結論: D值很小, p-value>0.05，不能拒絕原假設，所以數據集S符合shape=1的weibull分佈！

五、F分佈

F-分佈（F-distribution）是一種連續概率分佈，被廣泛應用於似然比率檢驗，特別是ANOVA中。F分佈定義爲：設X、Y爲兩個獨立的隨機變量，X服從自由度爲k1的卡方分佈，Y服從自由度爲k2的卡方分佈，這2 個獨立的卡方分佈被各自的自由度除以後的比率這一統計量的分佈。即： 上式F服從第一自由度爲k1，第二自由度爲k2的F分佈。

F分佈的性質
(1)它是一種非對稱分佈
(2)它有兩個自由度，即n1-1和n2-1，相應的分佈記爲F（n1–1， n2-1），n1–1通常稱爲分子自由度， n2-1通常稱爲分母自由度
(3)F分佈是一個以自由度n1-1和n2-1爲參數的分佈族，不同的自由度決定了F 分佈的形狀

1.概率密度函數

B是Beta函數(beta function)，又稱爲貝塔函數或第一類歐拉積分

set.seed(1)
x<-seq(0,5,length.out=1000)
y<-df(x,1,1,0)

plot(x,y,col="red",xlim=c(0,5),ylim=c(0,1),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The F Density Distribution")

lines(x,df(x,1,1,2),col="green")
lines(x,df(x,2,2,2),col="blue")
lines(x,df(x,2,4,4),col="orange")

legend("topright",legend=paste("df1=",c(1,1,2,2),"df2=",c(1,1,2,4)," ncp=", c(0,2,2,4)), lwd=1, col=c("red", "green","blue","orange"))

2.累積分佈函數

I是不完全Beta函數

set.seed(1)
x<-seq(0,5,length.out=1000)
y<-df(x,1,1,0)

plot(x,y,col="red",xlim=c(0,5),ylim=c(0,1),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The F Cumulative Distribution Function")

lines(x,pf(x,1,1,2),col="green")
lines(x,pf(x,2,2,2),col="blue")
lines(x,pf(x,2,4,4),col="orange")

legend("topright",legend=paste("df1=",c(1,1,2,2),"df2=",c(1,1,2,4)," ncp=", c(0,2,2,4)), lwd=1, col=c("red", "green","blue","orange"))

3.分佈檢驗

(1)Kolmogorov-Smirnov連續分佈檢驗

檢驗單一樣本是不是服從某一預先假設的特定分佈的方法。以樣本數據的累計頻數分佈與特定理論分佈比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本取自某特定分佈族。

該檢驗原假設爲H0:數據集符合F分佈，H1:樣本所來自的總體分佈不符合F分佈。令F0(x)表示預先假設的理論分佈，Fn(x)表示隨機樣本的累計概率(頻率)函數.

統計量D爲: D=max|F0(x) - Fn(x)|

D值越小，越接近0，表示樣本數據越接近F分佈
p值，如果p-value小於顯著性水平α(0.05)，則拒絕H0

> set.seed(1)
> S<-rf(1000,1,1,2)
> ks.test(S, "pf", 1,1,2)
    One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  S
D = 0.0113, p-value = 0.9996
alternative hypothesis: two-sided

結論: D值很小, p-value>0.05，不能拒絕原假設，所以數據集S符合df1=1, df2=1, ncp=2的F分佈！

六、T分佈

學生t-分佈（Student’s t-distribution），可簡稱爲t分佈。應用在估計呈正態分佈的母羣體之平均數。它是對兩個樣本均值差異進行顯著性測試的學生t檢定的基礎。學生t檢定改進了Z檢定（Z-test），因爲Z檢定以母體標準差已知爲前提。雖然在樣本數量大（超過30個）時，可以應用Z檢定來求得近似值，但Z檢定用在小樣本會產生很大的誤差，因此必須改用學生t檢定以求準確。

在母體標準差未知的情況下，不論樣本數量大或小皆可應用學生t檢定。在待比較的數據有三組以上時，因爲誤差無法壓低，此時可以用變異數分析（ANOVA）代替學生t檢定。

1.概率密度函數

v 等於n-1。 T的分佈稱爲t-分佈。參數v一般被稱爲自由度。
γ 是伽瑪函數。

set.seed(1)
x<-seq(-5,5,length.out=1000)
y<-dt(x,1,0)

plot(x,y,col="red",xlim=c(-5,5),ylim=c(0,0.5),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The T Density Distribution")

lines(x,dt(x,5,0),col="green")
lines(x,dt(x,5,2),col="blue")
lines(x,dt(x,50,4),col="orange")

legend("topleft",legend=paste("df=",c(1,5,5,50)," ncp=", c(0,0,2,4)), lwd=1, col=c("red", "green","blue","orange"))

2.累積分佈函數

set.seed(1)
x<-seq(-5,5,length.out=1000)
y<-pt(x,1,0)

plot(x,y,col="red",xlim=c(-5,5),ylim=c(0,0.5),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The T Cumulative Distribution Function")

lines(x,pt(x,5,0),col="green")
lines(x,pt(x,5,2),col="blue")
lines(x,pt(x,50,4),col="orange")

legend("topleft",legend=paste("df=",c(1,5,5,50)," ncp=", c(0,0,2,4)), lwd=1, col=c("red", "green","blue","orange"))

3.分佈檢驗

Kolmogorov-Smirnov連續分佈檢驗: 檢驗單一樣本是不是服從某一預先假設的特定分佈的方法。以樣本數據的累計頻數分佈與特定理論分佈比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本取自某特定分佈族。

該檢驗原假設爲H0:數據集符合T分佈，H1:樣本所來自的總體分佈不符合T分佈。令F0(x)表示預先假設的理論分佈，Fn(x)表示隨機樣本的累計概率(頻率)函數.

統計量D爲: D=max|F0(x) - Fn(x)|

D值越小，越接近0，表示樣本數據越接近T分佈
p值，如果p-value小於顯著性水平α(0.05)，則拒絕H0

> set.seed(1)
> S<-rt(1000, 1,2)
> ks.test(S, "pt", 1, 2)
    One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  S
D = 0.0253, p-value = 0.5461
alternative hypothesis: two-sided

結論: D值很小, p-value>0.05，不能拒絕原假設，所以數據集S符合df1=1, ncp=2的T分佈！

七、β(貝塔Beta)分佈

貝塔分佈(Beta Distribution)是指一組定義在(0,1)區間的連續概率分佈，Beta分佈有α和β兩個參數α,β>0，其中α爲成功次數加1，β爲失敗次數加1。

Beta分佈的一個重要應該是作爲伯努利分佈和二項式分佈的共軛先驗分佈出現，在機器學習和數理統計學中有重要應用。貝塔分佈中的參數可以理解爲僞計數，伯努利分佈的似然函數可以表示爲，表示一次事件發生的概率，它爲貝塔有相同的形式，因此可以用貝塔分佈作爲其先驗分佈。

1.概率密度函數

隨機變量X服從參數爲a, β，服從Beta分佈
γ 是伽瑪函數

set.seed(1)
x<-seq(-5,5,length.out=10000)
y<-dbeta(x,0.5,0.5)

plot(x,y,col="red",xlim=c(0,1),ylim=c(0,6),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Beta Density Distribution")

lines(x,dbeta(x,5,1),col="green")
lines(x,dbeta(x,1,3),col="blue")
lines(x,dbeta(x,2,2),col="orange")
lines(x,dbeta(x,2,5),col="black")

legend("top",legend=paste("a=",c(.5,5,1,2,2)," b=", c(.5,1,3,2,5)), lwd=1,col=c("red", "green","blue","orange","black"))

2.累積分佈函數

I是正則不完全Beta函數

set.seed(1)
x<-seq(-5,5,length.out=10000)
y<-pbeta(x,0.5,0.5)

plot(x,y,col="red",xlim=c(0,1),ylim=c(0,1),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Beta Cumulative Distribution Function")

lines(x,pbeta(x,5,1),col="green")
lines(x,pbeta(x,1,3),col="blue")
lines(x,pbeta(x,2,2),col="orange")
lines(x,pbeta(x,2,5),col="black")

legend("topleft",legend=paste("a=",c(.5,5,1,2,2)," b=", c(.5,1,3,2,5)), lwd=1,col=c("red", "green","blue","orange","black"))

3.分佈檢驗

(1)Kolmogorov-Smirnov連續分佈檢驗

檢驗單一樣本是不是服從某一預先假設的特定分佈的方法。以樣本數據的累計頻數分佈與特定理論分佈比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本取自某特定分佈族。

該檢驗原假設爲H0:數據集符合Beta分佈，H1:樣本所來自的總體分佈不符合Beta分佈。令F0(x)表示預先假設的理論分佈，Fn(x)表示隨機樣本的累計概率(頻率)函數.

統計量D爲: D=max|F0(x) - Fn(x)|

D值越小，越接近0，表示樣本數據越接近Beta分佈
p值，如果p-value小於顯著性水平α(0.05)，則拒絕H0

> set.seed(1)
> S<-rbeta(1000,1,2)
> ks.test(S, "pbeta",1,2)
    One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  S
D = 0.0202, p-value = 0.807
alternative hypothesis: two-sided

結論: D值很小, p-value>0.05，不能拒絕原假設，所以數據集S符合shape1=1, shape2=2的Beta分佈！

八、χ²(卡方)分佈

若n個相互獨立的隨機變量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服從標準正態分佈（也稱獨立同分佈於標準正態分佈），則這n個服從標準正態分佈的隨機變量的平方和構成一新的隨機變量，其分佈規律稱爲χ²分佈（chi-square distribution）。其中參數n稱爲自由度，自由度不同就是另一個χ²分佈，正如正態分佈中均值或方差不同就是另一個正態分佈一樣。

1.概率密度函數

set.seed(1)
x<-seq(0,10,length.out=1000)
y<-dchisq(x,1)

plot(x,y,col="red",xlim=c(0,5),ylim=c(0,2),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Chisq Density Distribution")

lines(x,dchisq(x,2),col="green")
lines(x,dchisq(x,3),col="blue")
lines(x,dchisq(x,10),col="orange")

legend("topright",legend=paste("df=",c(1,2,3,10)), lwd=1, col=c("red", "green","blue","orange"))

2.累積分佈函數

set.seed(1)
x<-seq(0,10,length.out=1000)
y<-pchisq(x,1)

plot(x,y,col="red",xlim=c(0,10),ylim=c(0,1),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Chisq Cumulative Distribution Function")

lines(x,pchisq(x,2),col="green")
lines(x,pchisq(x,3),col="blue")
lines(x,pchisq(x,10),col="orange")

legend("topleft",legend=paste("df=",c(1,2,3,10)), lwd=1, col=c("red", "green","blue","orange"))

3.分佈檢驗

(1)Kolmogorov-Smirnov連續分佈檢驗

檢驗單一樣本是不是服從某一預先假設的特定分佈的方法。以樣本數據的累計頻數分佈與特定理論分佈比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本取自某特定分佈族。

該檢驗原假設爲H0:數據集符合卡方分佈，H1:樣本所來自的總體分佈不符合卡方分佈。令F0(x)表示預先假設的理論分佈，Fn(x)表示隨機樣本的累計概率(頻率)函數.

統計量D爲: D=max|F0(x) - Fn(x)|

D值越小，越接近0，表示樣本數據越接近卡方分佈
p值，如果p-value小於顯著性水平α(0.05)，則拒絕H0

> set.seed(1)
> S<-rchisq(1000,1)
> ks.test(S, "pchisq",1)
    One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  S
D = 0.0254, p-value = 0.5385
alternative hypothesis: two-sided

結論: D值很小, p-value>0.05，不能拒絕原假設，所以數據集S符合df=1的卡方分佈！

九、均勻分佈

均勻分佈(Uniform distribution)是均勻的，不偏差的一種簡單的概率分佈，分爲：離散型均勻分佈與連續型均勻分佈。

1.概率密度函數

set.seed(1)
x<-seq(0,10,length.out=1000)
y<-dunif(x,0,1)

plot(x,y,col="red",xlim=c(0,10),ylim=c(0,1.2),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Uniform Density Distribution")
lines(x,dnorm(x,0,0.5),col="green")
lines(x,dnorm(x,0,2),col="blue")
lines(x,dnorm(x,-2,1),col="orange")
lines(x,dnorm(x,4,2),col="purple")

legend("topright",legend=paste("m=",c(0,0,0,-2,4)," sd=", c(1,0.5,2,1,2)), lwd=1, col=c("red", "green","blue","orange","purple"))

2.累積分佈函數

set.seed(1)
x<-seq(0,10,length.out=1000)
y<-punif(x,0,1)

plot(x,y,col="red",xlim=c(0,10),ylim=c(0,1.2),type='l',
     xaxs="i", yaxs="i",ylab='density',xlab='',
     main="The Uniform Cumulative Distribution Function")

lines(x,punif(x,0,0.5),col="green")
lines(x,punif(x,0,2),col="blue")
lines(x,punif(x,-2,1),col="orange")

legend("bottomright",legend=paste("m=",c(0,0,0,-2)," sd=", c(1,0.5,2,1)), lwd=1, col=c("red", "green","blue","orange","purple"))

3.分佈檢驗

(1)Kolmogorov-Smirnov連續分佈檢驗

檢驗單一樣本是不是服從某一預先假設的特定分佈的方法。以樣本數據的累計頻數分佈與特定理論分佈比較，若兩者間的差距很小，則推論該樣本取自某特定分佈族。

該檢驗原假設爲H0:數據集符合均勻分佈，H1:樣本所來自的總體分佈不符合均勻分佈。令F0(x)表示預先假設的理論分佈，Fn(x)表示隨機樣本的累計概率(頻率)函數.

統計量D爲: D=max|F0(x) - Fn(x)|

D值越小，越接近0，表示樣本數據越接近均勻分佈
p值，如果p-value小於顯著性水平α(0.05)，則拒絕H0

> set.seed(1)
> S<-runif(1000)
> ks.test(S, "punif")
    One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data:  S
D = 0.0244, p-value = 0.5928
alternative hypothesis: two-sided

結論: D值很小, p-value>0.05，不能拒絕原假設，所以數據集S符合均勻分佈！

在我們掌握了，這幾種常用的連續型分佈後，我們就可以基於這些分佈來建模了，很多的算法模型就能解釋通了。