矩陣的“特徵值分解”和“奇異值分解”區別

在信號處理中經常碰到觀測值的自相關矩陣，從物理意義上說，如果該觀測值是由幾個（如 K 個）相互統計獨立的源信號線性混合而成，則該相關矩陣的秩或稱維數就爲 K，由這 K 個統計獨立信號構成 K 維的線性空間，可由自相關矩陣最大 K 個特徵值所對應的特徵向量或觀測值矩陣最大 K 個奇異值所對應的左奇異向量展成的子空間表示，通常稱信號子空間，它的補空間稱噪聲子空間，兩類子空間相互正交。理論上，由於噪聲的存在，自相關矩陣是正定的，但實際應用時，由於樣本數量有限，可能發生奇異，矩陣條件數無窮大，造成數值不穩定，並且自相關矩陣特徵值是觀測值矩陣奇異值的平方，數值動態範圍大，因而子空間分析時常採用觀測值矩陣奇異值分解，當然奇異值分解也可對奇異的自相關矩陣進行。在自相關矩陣正定時，特徵值分解是奇異值分解的特例，且實現時相對簡單些，實際中，常採用對角加載法保證自相關矩陣正定，對各特徵子空間沒有影響。在信號處理領域，兩者都用於信號的特徵分析，但兩者的主要區別在於：奇異植分解主要用於數據矩陣，而特徵植分解主要用於方型的相關矩陣 。