——原载《科学》第49卷第1期，上海，1997年。
数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论。因此结果是十分坚强的。它会有用，是可以想像的。但应用的广泛与深刻，则到了神妙的地步，非常理可以预料的了。以下就最近数学的发展，举若干故事为谈助。
1有限单群
数学的发展中有一个突出的观念叫做“群”。要研究群的结构，自然应研究群的子群，即在同一运算下成群的子集。命G为群，H真包含于G为一子群。如对任何g∈G，g-1Hg真包含于H，则H称为正则（normal）的。正则子群的存在，可使群G的研究变为子群H及商群G/H的研究，而因此简单化。
大致说来，没有正则子群的群叫做单群（simple group）。这名词有点滑稽；显然单群并不简单。关於单群，有限群论中有一个深刻的定理，叫做费特一汤普森定理：单群的级（order，即元素的个数）是偶数。
有限群论的一个奇特现象，是除了一些传统群外，有某些零星的单群。现在所知最大零星单群的级是
808017…000000，
共有54位数。这是费希尔与格里斯发现的。数学家叫它为“怪物”（monster）。这当然是一个十分奇怪的群。有专家说，所有的有限单群都在这里了。这结果的证明，听说需1000页，也没有人完全写下来。千页的证明，含有错误的可能性是很大的。
这样，数学就起了疑问：长证明算不算证明？计算机检验到某一高度算不算证明？这是目前的一个聚讼的问题。
2椭圆曲线
所谓费马的最后定理说，方程式x^n+y^n=z^n,n>2,xyz!=0没有整数解（x，y，z）。
这个传说了300多年的结果，最近由英国数学家怀尔斯及泰勒证明了。这当然是近几年来数学界的一件大事。全文见1995年的《数学纪事》[1,2]。证明中使用的一个基本工具，叫做“椭圆曲线”。这是代数数论的一支。有以下一则故事：英国的大数学家哈代有一天去医院探望他的朋友、印度天才数学家拉马努金。哈代的汽车号是1729。他向拉马努金说，这数目没有意思。拉马努金回答说，不然，这是最小的数，可用两种不同方法，写为两个立方数的和的，如1729=1^3+12^3=9^3+10^3，
这结果可用椭圆曲线来证明。
椭圆曲线是一门深刻而美妙的数论。一个系数是整数的多项式方程P（x，y）＝0，
通常叫做丢番图方程。它有无整数解（即x，y都是整数），这是数论的基本问题。需要了解的是，这问题与代数几何有关。若上述方程式的x，y是实数，它确定一代数曲线。若x，y是复数，则方程可释为把y定为x的多值函数；复变函数论有黎曼曲面的观念，用来表示这个关系（但此理论较复杂）。两种情形都有一个重要数量，叫做亏格（genus）。亏格是1的曲线P（x，y）＝0叫做椭圆曲线。椭圆曲线上有一种奇怪的加法，成一可交换群，这是代数数论的一个十分有趣的结果。
日本数学家谷山丰推测，我的同事伯克利加州大学教授里贝证明：费马定理可由一个椭圆曲线的定理导出。怀尔斯就证明了这条定理。从这定理我们应认识，高深数学是必要的。费马定理的结论虽然简单，但它蕴藏着许多数学的关系，远超出结论中的数学观念。这些关系，日新月异，十分神妙。学问之奥，令人拜赏。
我相信，费马定理不能用初等方法证明。这种努力，会是徒劳的。数学是一个整体，一定要吸收几千年的所有进步。
3拓扑与量子场论
1995年初的一天晚上，我和内人看睡前的电视新闻。忽然听到我的名字，大吃一惊。原来加利福尼亚发行一种彩票，头彩300万元，可以累积。我从前的一个学生，名叫乌米尼，中了头彩，获美金2200万元。他并且说，将以100万元捐赠加州大学，设立“陈省身讲座”。
学校决定，以此讲座邀请名学者为访问教授。第一位应邀的为英国数学家阿蒂亚爵士。他是剑桥大学三一学院的院长，曾任伦敦皇家学会会长。他作了八讲，讲题是“拓扑与量子场论”。这是当前一个热门的课题，把最高深的数学和物理联起来了，导出了深刻的结果。
物理学的一个基本观念是“场”。电磁场尤为近代生活的一部分。电磁场的势（potential）适合麦克斯韦方程，但它不是一个函数。这种场叫做规范场.物理上有四种场：电磁场、引力场、强场和弱场。现在知道，这些场都是规范场，即数学上是一组矢量空间，用线性群结合起来的。电磁场的重要推广，是杨一米尔斯的规范场论。它把群从旋转群推广到SU（2）——一个非交换的群。
这自是科学上一个伟大的发展。数学家可以自豪的是所需的几何观念和工具，在数学上已经发展了。杨一米尔斯方程反过来影响到拓扑。这个方面的一个主要工作者是英国年轻的数学家唐纳森。利用杨一米尔斯方程可以证明，四维欧氏空间动有无数微分结构，与基本的不同。这结果最近又由塞伯格一威腾的新方程大大地简化了。二维流形的发展有一段光荣的历史。现在看来，三、四维流形恐将更为丰富和神妙。它将在数学和物理上开出美丽的花朵是可以断言的。
4球装问题
在一定空间中如何能装得最紧，这显然是一个实际而重要的问题。为使问题数学化，我们假定所装物体为半径为1的球。一个立刻产生的问题是：围着一球，可放几个同样大的球？
在二维的平面，绕一单位圆我们显然可放6个单位圆。在三维的空间，我们如把单位球绕单位球，则可以证明，12个球是放得进的。剩下还有许多空间，但不能放进第13个球。
这定理并不容易证。关于空间装球的密度，有一个开普勒假设，已经400多年了。最近，项武义教授对这个问题又作了巨大的贡献[3]。关于这问题的各个方面，请参阅项武义最近的文章。
立体几何是一个重要而困难的方面。近年来C60的研究显示了几何在化学上的应用。它当然对固态物理也有重大作用。球装不过是立体几何中的一个问题，前途却是大有发展的。
5芬斯勒几何
最近经我的鼓励，芬斯勒几何有重大的发展，作简略报告如次。在（x，y）平面上设积分：
s=∫[a->b]F(x,y,dy/dx)dx，
其中y为x的未知函数。求这个积分的极小值，就是第一个变分学的问题。称s为弧长，把观念几何化，即得芬斯勒几何。高斯看出，在特别情形，
F^2=E+2Fy'+Gy'^2,y'=dy/dx，
其中E，F，G为x，y的函数，几何性质特别简单。1854年黎曼的演讲讨论了整个情形，创立了黎曼一芬斯勒几何。百余年来黎曼几何在物理学有重要的应用，而整体黎曼几何的发展更是近代数学的核心动部分。
黎曼的几何基础包含芬斯勒几何。我们最近几年的工作，把黎曼几何的发展，局部的和整体的，完全推广到芬斯勒几何。这将是微分几何的一块新园地，预料前景无限。1995年夏，在美国的西雅图有一个芬斯勒几何的国际会议，其报告已于1996年由美国数学会出版。
芬斯勒几何，在著名的1900年的希尔伯特演讲中，是第23个问题。
6结论：关于中国的数学
中国人的数学能力是不容怀疑的。中国将成数学大国，我觉得也是不争的事实，可能时间会有迟早而已。我希望注意下列几点：
(1)要发展中国自己的数学。数学千头万绪，无法尽包。集中在几个方向是自然的选择。当年芬兰的复变函数论和波兰的分析都是成功的例子。但我个人喜欢低维拓扑，希望有人注意。
(2)中国的数学发展，必须普遍化；穷乡僻壤，何地无才。几年前我曾提议强化十个重点大学的数学所。这个计划当为目前发展数学最重要的措施，但个数可能要添加三五个。
中国的中小学数学教育，不低于欧美。我们到了攀登的时候了。
参考文献
[1]WilesA．ModularellipticandFermat’slasttheorem．AnnalsofMathematics,1995,141:443
[2]TaylorR,WilesA．RingtheorempropertiesofcertainHeckealgebras．AnnalsofMathematics,1995,141:533
[3]HsiangWY．ArejoindertoHaler’sarticle．MathematicalIntelligence,1995，17：35