本文原題 My Mathematical Education。譯自作者於1991.10.28寄給《陳省身文選》編者的複印中。原文已刊在丘成桐主編的文集《Chern-A Great Geometer of the Twentieth Century》(1992)中。本文現收錄在《陳省身──20世紀的幾何大師》（《Chern-A Great Geometer of the Twentieth Century》中譯本），交大出版社出版。
早年在中國所受的教育
我於1923年1月進天津扶輪中學。那是一所四年制的高級中學，我獲准插班入一年級就讀第二學期。該校的數學課程有：
(1)第一年，算術，使用中文課本；
(2)第二年，代數，使用 Hall 與 Knight 的課本；
(3)第三年，幾何，使用 Wentworth 與 Smith 的課本；
(4)第四年，三角學和高級代數，分別使用 Wentworth-Smith 及 Hall-Knight 的課本。
我的老師都很有能力，又極富獻身精神，我做了大量習題。到第四年，我已能做許多 Hall-Knight 的書中引用的劍橋大學榮譽學位考試的題目。
1926年我從扶輪畢業；同年我進南開大學，實際上是跳了兩級，因此我從未上過解析幾何課。更糟的是，我必須參加南開大學的入學考試，其數學試題中解析幾何佔很重的份量。考試前的三個星期，我自學了 Young 與 Morgen 的《數學分析》（Mathematical analysis）如果記得不錯的話，我的考卷位列第二。不過在很長的一段時間內，「圓錐曲線的焦點」這一概念令我大傷腦筋，直到幾年後學了射影幾何學我才茅塞頓開。
進南開大學後，我很快就發現自己做實驗笨手笨腳，於是數學便成爲我唯一的選擇。我有幸得姜立夫教授爲師-他1918年獲哈佛大學哲學博士學位，導師是 J. Coolidge，論文題目是關於非歐幾里得空間中線球接觸變換的。因此，我在大學第四年，花了許多功夫學幾何，所讀的書中有 Coolidge 的《非歐幾何學》(Noneuclidean Geometry) 與《圓和球的幾何學》(Geometry of the circle and sphere)，Solmon 的《圓錐曲線》(conic sections) 與《立體解析幾何》(Analytic
Geometry of Three Dimmensions)，以及 Castelnuovo 的《解析幾何與射影幾何》(Analytic and Projective Geometry) 等。尤其使我着迷的是 Otto Staude 的二卷本着作《線構造》(Fadenkonstruktionen)。二次超曲面的幾何是數學中優美的篇章。我很高興看到 J. Moser 1979年在可積哈密頓系統和譜理論的研究中繼續這方面的工作。（參見3）甚至在今日，研究 Salmon 的東西可能仍是有價值的，至少在我看來是有趣的。
1930年我從南開畢業，去北平清華大學從孫鎕 注1 教授工作。孫先生在當時是中國發表數學研究論文的唯一的數學家。孫的研究領域是射影微分幾何，他曾是芝加哥大學 E.P. Lane 的博士生。這個主題由 E.J. Wilczynsky 於1901年創立，是那時已經支配幾何學近一世紀的射影幾何的一個自然產物。我熟悉了這方面的文獻，並寫了幾篇論文，其中包括我的有關射影線幾何的碩士論文。繼 Plücker 與 Klein 之後，線幾何一直是幾何學家們喜愛的主題。事實上，Klein 的學位論文就是關於二次線體的，即 Plücker
座標下的二次方程所確定的線軌 (line loci)。二次線體具有許多背景中也有許多線幾何的內容。
我的論文研究線匯，即線的二維子流形以及它們的通過二次線體的密切 (osculation)。
在我的研究生學業接近結束時，即大約1934年左右，我開始認識到整體微分幾何（當時稱爲大範圍微分幾何）的重要性。我的主要靈感來自 W. Blaschke 的關於微分幾何的那些著作。
很清楚，代數拓撲是整個領域的基礎。而代數拓撲本身當時還處於發展階段。Veblen 於1922年發表的 analysis situs 注2 引進了「同調不變量」(homology characters) 即根據關聯矩陣得出的 Betti 數和撓係數。Lefschetz 的《拓撲學》於1930年出版，但該書對初學者進入這個領域並無裨益。我曾聽過 Emanuel Sperner 的講課（1933～1934年）。當時 Sperner 正在北京大學訪問，他的課包含有對 Erhard Schmidt 關於約當曲線定理的證明的嚴密而詳細的論述。我也聽過江澤涵講授的以
Lefschetz 的書爲藍本的「位置分析」課，江是 Marston Morse 過去的學生，曾擔任 Lefschetz 的助手。而我當時的感覺是我只是剛剛站在代數拓撲這座偉大殿堂的門口。到1934年 Seifert-Threlfall 的書和1935年Alexandroff-Hopf 的書問世，情況纔有了巨大的變化。
1932年春季，Blaschke 訪問了北平，作了關於「微分幾何中的拓撲問題」的系列演講。這是真正的局部微分幾何。他採用全體微分同胚構成的僞羣取代經典微分幾何中的李羣，並研究了局部不變量。我能跟上 Blaschke 的演講並去閱讀發表在漢堡大學數學討論會論文集 (Hamburger Abhandlungen) 及其它雜誌上的包含在這同一個總標題下的許多論文。這個主題現在稱爲網幾何 (web geometry)。由於有此接觸，之前又已掌握 Blaschke 的微分幾何書中的知識，所以當1934年獲得一筆獎學金時，我決定去漢堡留學。
歐洲的留學生活
1934～1936年我在漢堡，1936年獲理學博士學位；並曾在巴黎隨 Elie Cartan 從事一年博士後研究，去漢堡的選擇實屬幸運之舉。漢堡大學有一個很強的數學系，Blaschke、Artin 以及 Hecke 是那裏的教授，較資淺的成員包括 E. K?hler、H. Petersson 和 H. Zassenhaus。
那時 Blaschke 的數學興趣正從網幾何轉向積分幾何。1934年9月我剛見到他時，他給了我一大迭關於網幾何的抽印本。我開始對網的秩的概念和具有最大的秩的網產生了興趣。大家知道，Rn 中一個餘維是 1 的 d 網由處於一般位置的 d 個超曲面葉結構組成。設 x1,...,xn 是 Rn 的座標，葉狀結構由方程 常數， 給定。形如 的方程被稱爲是 Abel 方程。線性無關的 Abel 方程的最大個數被稱爲是這個網的秩。如果 d-網由 Rn 空間裏的 d 類代數曲線的超平面定義，它就具有這樣的 Abel 方程，它們是將
Abel 定理應用於 Abel 微分獲得的。因而這個 d-網的秩至少是該曲線的虧格 (genus)。在一篇短文中我確定了 Rn 中所有餘維爲 1 的 d-網的最大秩 。根據 Castelnuovo 的一個定理，這個整數等於 n 維射影空間 Pn 裏不屬於任意超平面 Pn-1 的 d 次代數曲線的最大虧格。值得注意的事實是，並非所有具有最大秩的網都是由上述方式描述的具有最大虧格的代數曲線給出的；這裏存在怪異的具有最大秩的網，這些網的葉並非都是超平面。這些 Abel 方程本質上是函數方程，因爲在經典情形中，這些方程變成衆所周知的超越函數的加法定理。在平面上
(n=2)，曲線的 5-網的最大秩爲 6，而且存在一個怪異網（Bol網），這個網的 Abel 方程含二重對數。1978年 Griffiths 和我研究了 Rn 中具有最大秩 且餘維爲1 的 d-網問題，但我們沒有獲得最後結果。我認爲確定這樣的怪異網是一個非常有趣且很重要的問題。
1934～1935年間我的主要精力用於參加 K?hler 的討論班。討論班以 K?hler 剛出版不久的著名小冊子《微分方程組理論導引》(Einführung in die Theorie Systeme von Differentialgleichangen) 爲基礎。主要成果就是後來所稱的 Cartan-K?hler 定理。所有的人，包括 Blaschke、Artin 與 Hecke，都出席了首次討論會，每人還得到一本上述的小冊子。但參加者減少得很快，我是堅持到底的極少數人之一。我把這一理論用於 R2r
中 r 維子流形的 3-網。Blaschke 和 K?hler 都認爲這個結果與我先前關於最大秩的結果已足夠寫成一篇學位論文了。到1935年底我的學位論文已準備就緒。
Blaschke 及其學派主要關心積分幾何，Blaschke 開過積分幾何的課程。這一主題最漂亮的結果是由 L.A. Santalò 發現的。一個結果是用正項的無窮和表示平面凸曲線的等周虧量，其中每個正項均具幾何意義。Santalò 的工作使他成爲積分幾何方面的世界級領袖。他原籍西班牙，後來移民到阿根廷。
我的另一位學友是代數幾何學家周煒良，他爲了跟 Hermann Weyl做研究從芝加哥來到哥廷根。但是哥廷根乃至整個德國政局的變化使這一願望成爲泡影，他又轉往萊比錫隨 Van der Waerden 工作。由於某種原因，他住在漢堡，有時來參加討論班。周煒良當時正在發展他的「配型」(zugeordnete Formen)，即後來所稱「周氏座標」。周是一位有創見的數學家。他對代數幾何作出了重要貢獻，包括他的緊子簇定理和相交理論。周出身於中國一個高層官宦家族，它很早就認識到西化的必要，因此這個家族出了不少傑出人物。周習慣夜間工作。當他來訪時我就得犧牲一些睡眠，但卻學得一些數學。
無論如何，只要可能，我就去聽 Artin 的講課。二年間他開過的課包括複變函數論、代數拓撲、相對論和丟番圖逼近等。我還聽過 Hecke 主要按他的書講的代數數論課。我在漢堡的學術生涯是很理想的，但是政局不允許這種生活繼續下去。
1936～1937年我可從事一年博士後研究。當我徵求 Blaschke 的意見時，他建議我或繼續留漢堡跟 Artin 研究數論，或去巴黎跟隨 Elie Cartan。這兩個方案都有吸引力，我最後選擇了後者。
這一抉擇非常理想。那年 Cartan 開了一門外微分系統的課程；講義後來以書的形式出版了。那些後來成爲 Bourbaki 的「年輕的」法國數學家開始活躍起來。他們組織了一個「Julia 討論班」，每二週聚一次，致力於對每年選定的一個專題進行研究。1936～1937年的專題是「E. Cartan 的工作」。
Cartan 是位極好的導師。他提出的「小」問題，有些成爲我論文的主題。大概由於我對他所提問題作的解答，他允許我大約每二週去他家一次。見面後的第二天我通常會收到他的信，信中往往說：「你走後我又考慮了他的問題。……這問題似乎很有趣……」這一年過得有趣而令人難忘。
我還聽過 Montel 有關多復變的講課，參加過 Hadamard 在法蘭西學院舉辦的討論班。在每次討論班結束時 Hadamard 總會作總結，它通常比討論班上的演講本身更清楚更豐富。
在獲悉中日戰爭爆發的消息後，我懷着沉重的心情於1937年7月10日告別巴黎返回中國。
數學上與世隔絕
1937年夏我離歐返華時，本打算去北平就任清華大學教授之職，由於中日戰爭之故，十年後才達到此目的。當時清華大學先搬到長沙，1938年又遷至昆明，在那兒一直滯留到1945年夏戰爭結束。
昆明是座美麗的城市。雖然處於戰事中的國家物資匱乏、局勢動盪，但在生活的其它方面倒是愉快的。清華大學與北京大學、南開大學聯合，組成了西南聯合大學，昆明立刻成爲戰時中國知識界的中心。我的數學同仁包括華羅庚和許寶騄。我開了代數拓撲、李羣、球幾何及外微分系統等方面的課程和討論班，吸引了一批學生。主要的不便是此地與外界的聯繫被切斷了：有段時間連「緬甸信道」也關閉了，與外界的聯繫只有*空運。我有個私人小書庫。起初，我做了以前想做而沒時間做的事：讀了些書，思考些問題，還覺得有趣。但挫折很快就降臨了，而且必須克服。我將此情信告
E. Cartan，他寄給我許多他的抽印本，包括一些過去的論文。我花了大量時間研讀這些論文，考慮其內涵及應用。這確實使我受益匪淺。在30年代，人們已開始認識到 Cartan 的工作的重要性，如 Weyl、Blaschke 和 K?hler，但幾乎沒有人去讀 Cartan 舊時的論文（有關李代數的論文除外）。我很幸運能因環境之故把這些論文都遍讀無遺。
駐華盛頓的中國大使胡適博士空郵來一本 Hurewicz-Wallman 寫的有關《維數論》的書。現今習慣於靜電覆印的人也許很難想象我把除最後一章外的整本書抄了一遍。在最後一章中，作者是在沒有正合序列概念的情況下處理正合序列的問題，我覺得很難理解。其實當時讀論文作筆記是很普通的。複印大量資料並不能說明自己取得了多少進步。
我開始有了一些學生，其中有王憲鍾和嚴志達。王后來對拓撲學作出了許多貢獻，儘管他最出名的成果是王序列。嚴最早給出所有例外李羣的 Betti 數的正確值。
回首往事，我並不認爲自已對作爲整體的數學有完善的見地。我清楚自己的某些不足並渴望得到充實。我的數學實力在於我能算。至今我不在乎繁複的計算，直到數年前我做這樣的計算還很少出現差錯。這方面的訓練現在不大流行，也得不到鼓勵，但在處理許多問題時它仍有很大的好處。
Gauss-Bonnet 公式曾使我着迷，我知道它的最概念化的證明是通過結構方程來表示聯絡形式的外微分。當1943年我去普林斯頓時，它已爲爲我在數學工作中最得意的一篇論文開了題。
普林斯頓陽光燦爛
我於1943年8月抵達普林斯頓。氣氛的變化令人難忘。那段日子高等研究院很清靜，大多數人已離去爲戰事服務。Hermann Weyl 對我的工作很感興趣。我訪問之前他曾爲《數學紀事》(Annals of Mathematics) 審閱過我一篇有關迷向曲面的論文，並寫了一個很長的給予好評的報告。這件事是他親自泄露給我的。報告提出了改進的建議，這說明他仔細地看了全文。我們經常交談。Weyl 的深刻洞察之一是預言代數幾何有非常美好的前景。
Andre Weil 那時在附近的 Lehigh 大學，我們很快就見了面並有好多可談的內容。當時 Weil 剛剛發表與 Allendoerfer 合作的關於 Gauss-Bonnet 公式的論文，它立刻成爲我們討論的話題。根據我對二維情況的埋解，我知道正確的證明應該建基於我們現在稱之爲超度 (transgression) 的概念之上。困難則有兩個：1)當時我對關於向量場的奇點的 Poincare-Hopf 定理不甚清楚；2)超度必須在單位切叢中而不是在主叢中實現，這就涉及到一個不平凡的技術困難。這兩個困難我都在短時間克服了，事情有了一個滿意的結果。我仍認爲這是我做得最好的工作。
其後自然要把這個結果擴展到 Stiefel-Whitney 類。那時即使在普林斯頓，談起纖維叢也必得從定義開始。那時沒有矢量叢，只有球叢。我注意到復示性類較簡單，容許局部曲率表示。這項工作不難，但它並非那個時代拓撲學的時尚課題。
我雖是高等研究院的成員，但很多時間是在普林斯頓大學的範氏大樓 注3 度過的。Chevalley 那時正在寫他的有關李羣的書。Lefschetz 則固執己見，他不願用當時盛行的常規方法研究微分幾何。當時請我爲《數學紀事》審閱一篇論文而建議退稿後，他讓我擔任該刊的副主編 (associate editor)。
普林斯頓的環境與工作節拍令我十分愜意。我對數學的看法成熟多了。留居普林斯頓的日子使我感到極大的樂趣。近年來科學競爭已使科學家的生活大煞風景，儘管在數學方面的情況要好得多。我認爲沒有非要如此快地出成果的必要，我也不爲電子郵件的發現所動。
1945年底我告別普林斯頓回中國。踏上故土立即受命組建中國的科學院，即中央研究院的數學研究院，其時二次大戰雖已結束，中國卻由於內戰而處於分裂狀態。我向 Hermann Weyl 發出訪華邀請，他欣然接受。但是中國當時的形勢使這一訪問未能實現。
1948年底南京政府處於崩潰之中，感謝高等研究院主動安排我離華。1949年冬季學期我在高等研究院，是 Veblen 的微分幾何討論班的主講人。講稿兩年後補寫出來，流傳甚廣。這些講稿現收錄在已出版的我的《論文選集》第四卷內。主要結果是 Weil 同態。這是陳類從酉羣到任意李羣的一個推廣。1944年我在寫有關復示性類的論文時就知道這個結果；由於未熟練掌握李羣，當時未能證明它。Weil 通過考慮聯絡族，提供了一個關鍵性的思想。我把這個結果稱爲 Weil 同態。朋友們認爲我應該分享這一榮譽，對此我自然不持異議。
數學上進入不惑之年
二次大戰後，Marshall Stone 應召重組芝加哥大學數學系，並任系主任。他最早發出的兩份聘約分別送達 Hassler Whitney 與 Andre Weil，這是他洞鑑數學與數學界的一個證明。Whitney 謝絕了，而 Weil 經過數次協商後接受了。
我在中國時 Stone 就曾寫信給我談起要在芝加哥爲我提供一個訊問職位的事。1949年我來美國後，芝加哥大學數學系決定長期聘我。我認爲芝加哥大學是美國唯一的其主要目標是「知識進步」而非教育的大學。我有許多朋友在那裏的數學系；1949年夏我成了該系的成員。由此引出了一段愉快而有益的合作。
1949～1950學年我開了一門名爲「大範圍微分幾何」的課程，有一批才華橫溢的學生。我自己正在開闢自己的道路，我的學生及時更正了我的許多錯誤和疏忽，這是生氣勃勃而又有趣的結合。我還記得 Arnord Shapiro，他曾主持許多這樣的討論。回想起來，當時我對微分幾何的瞭解還是初步的。這門學科中一些爭論問題至今未決，也許正反映了它的力量之所在。例如，曲面是什麼？是嵌入還是浸入，或是由可能有奇點的方程所定義的？另一方面，我的課上涉及的許多課題，也獲得了新的多方面的發展。
我與 Weil 聯繫密切。他隨時都有準備，隨時都可合作。在與我討論過數學的衆多數學家中，Weil 是極少數能迅速抓全我的思想並給予有益的評說的數學家之一。我們常沿着密執安湖畔長時間的漫步，這在當時還很安全。
我對代數拓撲也感興趣，偶爾開一門這方面的課。我與 Ed Spanier 在球叢的研究上進行過合作。所獲結果之一是把 Gysin 的工作寫成一個正合序列。Rene Thom 把它做得更明白化了，這個結果現在通常稱爲 Thom 同構。
我覺得芝加哥和漢堡都非常令人愉快。我認爲兩者的規模都很合適。不幸的是數學的發展已使一切都膨脹了。
在西海岸定居
1960年我遷往伯克利 (Berkeley)。對我來說這地方並不陌生。我在中國的老師姜立夫教授就是在伯克利獲得理學學位的。1946年和1949年我曾兩度駐足伯克利並在伯克利數學系呆過一段時間。伯克利數學系是第一流的，它由 G.C. Evans 創建。Evans 曾在若干場合詢問過我對去伯克利有無興趣。Evans 的兄弟曾是天津著名的西文書店的老闆。我曾在那兒買過一些課本，而書價一般貴得嚇人。
Evans 要退休了，我去伯克利工作的事變得認真了，確實，我有時想到，自己年紀大了，伯克利較溫暖的氣候很有吸引力。當然，伯克利數學系在擴展，空運的發達已使加利福尼亞不再像從前那麼孤立等因素，亦促成了我的這次遷居。
伯克利一直在提高它在數學界的地位，吸引着許多優秀的學生。在我指導下有31名研究生獲博士學位，當然我還影響其它一些學生。我開始以「第二作者身份」 注4 與年輕人合作撰寫論文，如與 Bott，Griffiths、Moser，以及 Simons 等合作就是如此。在這種情況下我感覺責任較輕。生活越來越覺舒暢。
與我在學術上交往密切的同事有 Hans Lewy 和 Chuck Morrey，他們都是有創見、能力很強的分析學家。Lewy 和對 R6 中的三維黎曼度量的局部等距嵌入問題進行過一段時問的研究。它把我們導向三次漸近錐面的研究，我們弄清楚那是雙曲的，但僅止於此。
數學中的微分的作用很奇妙。通常人們傾向於認爲代數和拓撲是數學的兩根支柱。但是事情並非那樣簡單；牛頓和萊布尼茲玩的是絕技。這一時期已經看到微分幾何匯入了數學的主流。
老耄之年的消遣
我的生命歷程正在接近終點，我唯一的考慮是怎樣度過這段時光。答案很簡單，我將繼續擺弄數學。體育運動我從來就不在行，現在就更不用說了。聽音樂對我一直是浪費時間，偶爾介入此道，純粹出於社交之故。所幸的是整體微分幾何還有許多基本問題，儘管在其發展中我很可能僅是一名觀衆。
我認爲，研究對象限於光滑流形只是由於技術上的原因，也是不能令人滿意的。不僅很自然地存在着非光滑的流形，而且即使從光滑流形開始，諸如包絡這樣一些幾何構造也將導致非光滑流形，Whitney 引進了分層流形 (Stratifiad manifold) 的概念，它允許有奇點並可應用無窮小分析。最近 Robert McPherson 的工作又帶來了新的希望。Cheeger-Goresky-McPherson 相交同調和 McPherson 陳類已揭示出這一概念的本質。（見2）
對我來說，Riemann 結構是否像最新的進展所表明的那樣基本還不清楚。畢竟 Riemann 在那篇歷史性的論文中，允許他的度量是一種 4 次形式的 4 次根。更一般情形現在稱之爲 Finsler 度量。我在最近的一篇註記4 中指出，只要採取適當的觀點，Finsler 幾何可以很簡單地加以展開。進一步的發展則是必然的。
正如 Griffiths 曾注意到的，我之所以喜歡代數手法起因於我的經歷。局部微分幾何需要這樣去作，但是要得到漂亮的局部性定理是困難的。很清楚，前面討論過的有關最大秩的網的問題是很重要的問題，它將受到我的關注。
數學仍在不斷地陶冶着我。
[1] P. Griffiths and J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, John Wiley, 1978.
[2] Robert McPherson, Global questions in the topology of singular spaces, Proc. ICM Warszawa, vol 1, 1983, 213-235.
[3] J. Moser, Geometry of quadrics and spectral theory, Chern symposium, Springer-Verlag, 1979, 147-148.
[4] S. Chern, On Finsler Geometry, Comptes Rendus, Academie des Sciences, Paris (1991).