1987年4月24日15:00-16:00
中央研究院
矢量叢的觀念是微積分觀念自然的推廣。你們念微積分都研究一個函數y=f(x)，在平面裏頭，函數就有一個圖，假定這個函數是平滑的(smooth)，利用這個函數的微分描述這個函數的性質。例如說，假使在一個點，它的微分等於0的話，這個點就是所謂的臨界點(critical point)，它是極大、極小或是反曲點(point of inflection)。
我們把這個觀念推廣到多變數，所以現在有y_i=f_i(x_1,,x_n),1<=i<=q，是個n個變數的q個函數。這個推廣非常要緊，你要把微積分應用到數學或科學，不能避免的變數要增加。在這個時候，我們還是可以定微分，這時候微分dy_i=df_i(x_1,,x_n)。我們喜歡把y看成一個矢量，y_i是矢量的分量，因此看爲矢量的話，矢量的微分有這樣的性質d~y=d~f(x_1,,x_n)。假使我用這樣表示的話，我也可以用同樣的圖來表示。這時候X不止是一維的，而是高維的，取的值Y也是高維的。我要把這個表示方法略爲變化一下，可以把它推廣。X是n維，Y是q維，所以取這兩個空間的乘(product)，把X、Y乘起來，它是n+q維的空間R^(n+q)=X^n×Y^q。寫成這個形狀之下，我就有一個自然的映射(projection)π，它把X×Y映射到X，就是取它的第一個分量，即在X裏頭的分量。
我們的圖，它的點可以表爲(x,y(x))。所以從這個表示的時候，函數的意思是什麼呢？是一個從X到X×Y的映射，使得它的第一個分量就是X自己。換句話說，我願意把它抽象化了，抽象化就推廣了，我願意把它表爲X^n×Y^q=>(x,y(x))。所以我把這個圖略爲改變一下子，成一個新的情形，這個新的情形立刻有一個重要的推廣，就是矢量叢(vector bundle)。使得x的座標等於常數，這些點(x,y)頭一個座標是x。現在我們要給它名字，這些線叫做纖維(fiber)，這就是在最簡單的例子之下，它是跟y軸平行的那些直線。函數變成什麼呢？變成一條在X×Y裏頭的曲線跟每一個纖維相交的一點，這時整個的空間爲X×Y，我把它稱爲E。近幾十年來，數學上一個重要的發展就是把這個觀念推廣，我們要整個的空間不是X×Y，只是局部的是X×Y的形狀，我叫E是locally
a product，是局部纔是一個積，不是整個(global)積。
什麼叫局部積呢？局部積是說，X空間可以用一組鄰域(neighborhood)來覆蓋，也就是說X=U[α]U_α，X等於U_α這些鄰域聯集起來，兩個鄰域可以相交，它的共同點不一定是空的(empty)。locally a product就是說：E可以是一個projection project到X,X稱爲底空間(base space)，E不一定等於X×Y，但是局部的等於U_α×Y，所以E=U[α](U_α×Y)。就是說E這個空間是在X空間上頭，X是個底空間，整個的E不是X乘上另一個空間，但是限於一個鄰域的話，它是的。這個叫做矢量叢(vector
bundle)。最簡單的一個例子是：切線叢(Tangent bundle)。
如果在三維空間取一個球面，在每一點有一個切空間，這就是它的纖維。但是所有在球面上頭切的矢量並不等於底空間球面乘切線集，所有的space of all tangent vectors不一定等於底空間乘上纖維。實際上不是的。要證明這一定不是的在拓撲上不是最簡單的情形，需要一點觀念才能證明這樣的事實。這事實是說，所有二維球面上頭的切矢量是一個四維空間，因爲球面是二維的，每一點的切矢量又是二維。但是這個四維空間不是球面乘一個平面，拓撲上講不是一個product，需要一點觀念才能證明。所以總而言之，一個流形(manifold)的切叢一般情形下不一定是一個product，這是一個例子。
我今天要講的內容可以分成幾個題目：vector bundles;connections;curvature;chas.
forms;chas.classes;Maxwell equations;Yang-Mills equations。
在座的大概很少人知道什麼是Yang-Mills equations，這是近代物理上一個非常基本的概念。我剛纔已經講了矢量叢。所以底下要講什麼是聯絡(connections)。這是一個非常基本的概念。這個觀念非常簡單，假設我們有這樣的一個矢量叢，要討論一個section，s是一個section，section者就是剛纔所說的X到E的映射，使得πｏs=identity。整個圖就是說一大簇纖維的一個截面。這個在數學上、物理上是非常基本的觀念。比方說，矢量場(vector field)是一個section，張量場(tensor
field)是一個section。現在我們的問題說，既然有這section（section就是我剛纔所說的函數的推廣），要用微積分的話，第一樣要會微分，怎麼樣式微分？因此要研究section，第一樣要怎樣微分，這個不簡單，因爲我們的空間只是個局部積，只是在局部U_α的鄰域上，E這空間有座標(x,y)，這時我們把這y座標叫做y_α，因爲這個座標與U_α的選擇有關。現在我們知道y_α是x的函數，這與鄰域的選擇有關。如果換個鄰域U_β，在這上頭的點，又有另外的座標(x,y_β)，x是同一點，在U_α和U_β相交的地方。把這同一點x看成U_α的點話，它的fiber有y_α的座標。換成U_β的點，又有y_β座標。這兩組座標之間有一個關係。這矢量叢我們假定這關係是線性的。所以這座標用分量寫下來的話，叫做y^i_α跟y^j_β，y^i_α和y^j_β之間有一個線性關係y^i_α(x)=∑g^i_j,αβ(x)y^j_β(x)，g這個線性關係可以是x的函數。諸位要是對力學有經驗的話，比方說，矢量場（vector
field），它的分量變換是線性的，它的係數就是係數變換的Jacobian。假使是一個張量的話，它的係數的變換是的一個tensor product。現在把i、j去掉，寫成y_α(x)=g_αβ(x)y_β(x)，這樣是說，y_α,y_α是代表一個矩陣，g_αβ是一個q階方陣，這些矩陣的元素都是x的函數。你看了這個方程式就知道微分不簡單了，我把y_α微分成dy_α，但利用這個式子，dy_α又等於g_αβdy_β加上dg_αβy_β。如果定義這個微分，就拿y的分量來定義微分的話，這個微分沒有你所需要的性質。換句話說，這個微分與鄰域的選擇有關，不是完全確定的。換了鄰域的話，多了挺麻煩的一項，所以定微分發生困難，因此我們就要引進一個所謂絕對微分（absolute
differentiation or covariant differentiation）。
covariant differentiation現在大家叫做連絡（connection）。connection就是能微分一個section，能夠求函數的微分。換句話說，假使有一個section的話，我要求它的微分，它是一個微分式，而它的值是個section，對於這樣的一個微分，我們需要它有什麼條件？其實很簡單，有兩個條件：
（1）D(s_1+s_2)=Ds_1+Ds_2
（因爲纖維是個矢量空間（vector space），所以矢量空間兩點可以相加。）
（2）D(fs)=fDs+df(×)s
假使有一個section，f是一個函數，f:X->R or C。如果把section用函數一乘的話仍舊是個section，矢量空間上一點，拿數目一乘是另外一點。現在要問，假使一個section被函數一乘的話，應該合於什麼性質？當然啦！我們要它的導數（derivation）。換句話說，我們要這個東西等於fDs，應爲f是一個函數，函數的微分已經有意義了，所以加上df(×)s，(×)是tensor product。所以一個連絡就是一個section的微分，適合這兩個最簡單的條件。很容易證明連絡一定存在，並且不止一個。最要緊，最簡單的一個連絡的例子就是Levi-Civita平行性。你要念黎曼幾何的話，這是一個基本的觀念。
曲率（curvature）就是說，connection既然很多，有一個connection跟另外一個connection不一樣，那麼怎樣描述它不一樣的地方，怎樣描寫它不同的局部性質？因爲纖維是一個q維的矢量空間，要描寫矢量空間最好在每一個矢量空間裏頭取一個基底（basis）。所以我現在要取一個基底叫s_i,1<=i<=q。因此我們可以把Ds_i表成∑[j]w^j_i(×)s_j,1<=i,j<=q,是s_j的平直組合。因爲D是個微分，所以這是個平直組合，它的係數是一次微分式。所以我們就有一個方陣w=(w^j_i)，這是一個q*q的方陣，它的每一個元素都是一次微分式（linear
differential form）。諸位如果念過黎曼幾何的話，可以把w^j_i寫成Γ^j_ikdx^k，就可以看出它的係數在黎曼空間的特別情形，就是所謂的Christoffel symbols。不過我們討論的情形比黎曼幾何的情形要廣的多了，因爲黎曼幾何的情形，它的纖維是切空間，現在是任意的空間。這情形是一樣的，所以這個就是Christoffel symbols的推廣。這個方程我把它寫爲Ds=ws，意思就是說s代表一個1*q的矩陣， w是q*q的矩陣。w中的元素都是一次微分式，與基底的選擇有關。
從歐拉示性類到Morse理論http://www.docin.com/p-474173598.html
從Gauss-Bonnet定理內外蘊證明到陳類http://www.docin.com/p-117044725.html
摘要：高斯-博內定理是聯繫流形的局部幾何性質和整體的拓撲特徵的重要定理。Allendoefer和Weil運用局部嵌入的方法（即外蘊方法）證明了對一般的閉的黎曼流形成立的推廣的高斯-博內定理。隨後陳省身給出了推廣的高斯-博內定理的內蘊證明。開創了大範圍內蘊幾何的新篇章。他運用活動標架方法描寫聯絡和曲率，把所有的因素都放在標架叢來考慮，並運用切球叢上的內蘊地聯繫着底流形的微分形式，把對於底流形上的微分形式的積分轉化到切球叢上的。這種內蘊證明的方法對微分幾何的發展產生了深遠的影響。陳省身隨後又由此發現了復纖維叢上的拓撲不變量——陳類，它是一種重要的示性類，因爲在復纖維叢上考慮的示性類比其它的示性類比其它的示性類更簡潔，而且其它的示性類（比如Pontrjagin類）也可由陳類更簡單的表示出來。本文簡要介紹了Allendoefer和Weil關於高斯-博內定理的外蘊證明（局部嵌入方法），總結和解釋了陳省身的內蘊證明方法，並介紹陳類這一重要理論的出現。高斯-博內定理的內蘊證明是十分簡潔而漂亮的，本文分析了內蘊證明對微分幾何所產生的重要影響，以及運用切球叢方法的重要意義。
關鍵詞：微分幾何，高斯-博內定理，陳類，內蘊證明，埃爾米特流形
http://www.docin.com/p-338693552.html
數學工作
高斯-博內公式是19世紀幾何學中曲面幾何的一個偉大成就。它把曲率（幾何）與歐拉數（拓撲）聯繫起來。
∫_MKdA+∫_dMk_gds=2πχ(M)，
其高維推廣由Allendoefer-Weil在1942年給出，但他們的證明是外在的並且非常複雜。一個內蘊的證明是需要的。
陳省身第一個基礎性工作是他在1943年關於高斯-博內公式的內蘊證明。
正如霍普夫所言,陳省身的內蘊證明開創了微分幾何的一個嶄新時代。
∫_MPf(Ω)=(2π)^nχ(M)
陳省身引入作爲復向量叢示性類的陳類。其中他使用了阻礙（obstruction）理論，Schubert微積分和向量叢上的曲率形式。陳類在代數幾何中是基本的。
c(V)=c_0(V)+c_1(V)+c_2(V)+…
大概在同時期，龐特里亞金引入實叢的龐特里亞金類，後來證明它們可以由陳類通過復化得到。
p_k(E)=p_k(E,Z)=(-1)^kc_(2k)(E(×)C)∈H^(4k)(M,Z)
陳省身奠定了複流形上埃爾米特幾何的基礎。他引入陳聯絡的概念並用它的曲率形式來定義陳類。
陳聯絡定義爲：
1保度量g，▽g=0
2保復結構J
3The torsion is pure in its indices
陳省身的通過曲率形式對陳類的明確表示是極其重要的。它提供了更多的信息且在使用這些示性類時比拓撲學家更具優勢，它建立了分析與拓撲之間的一個橋樑，例如，丘成桐解決卡拉比猜想就是這方面一個很好的例子。
det(itΩ/(2π)+I)=∑[k]c_k(V)t^k