1987年4月24日15:00-16:00
中央研究院
矢量丛的观念是微积分观念自然的推广。你们念微积分都研究一个函数y=f(x)，在平面里头，函数就有一个图，假定这个函数是平滑的(smooth)，利用这个函数的微分描述这个函数的性质。例如说，假使在一个点，它的微分等于0的话，这个点就是所谓的临界点(critical point)，它是极大、极小或是反曲点(point of inflection)。
我们把这个观念推广到多变数，所以现在有y_i=f_i(x_1,,x_n),1<=i<=q，是个n个变数的q个函数。这个推广非常要紧，你要把微积分应用到数学或科学，不能避免的变数要增加。在这个时候，我们还是可以定微分，这时候微分dy_i=df_i(x_1,,x_n)。我们喜欢把y看成一个矢量，y_i是矢量的分量，因此看为矢量的话，矢量的微分有这样的性质d~y=d~f(x_1,,x_n)。假使我用这样表示的话，我也可以用同样的图来表示。这时候X不止是一维的，而是高维的，取的值Y也是高维的。我要把这个表示方法略为变化一下，可以把它推广。X是n维，Y是q维，所以取这两个空间的乘(product)，把X、Y乘起来，它是n+q维的空间R^(n+q)=X^n×Y^q。写成这个形状之下，我就有一个自然的映射(projection)π，它把X×Y映射到X，就是取它的第一个分量，即在X里头的分量。
我们的图，它的点可以表为(x,y(x))。所以从这个表示的时候，函数的意思是什么呢？是一个从X到X×Y的映射，使得它的第一个分量就是X自己。换句话说，我愿意把它抽象化了，抽象化就推广了，我愿意把它表为X^n×Y^q=>(x,y(x))。所以我把这个图略为改变一下子，成一个新的情形，这个新的情形立刻有一个重要的推广，就是矢量丛(vector bundle)。使得x的座标等于常数，这些点(x,y)头一个座标是x。现在我们要给它名字，这些线叫做纤维(fiber)，这就是在最简单的例子之下，它是跟y轴平行的那些直线。函数变成什么呢？变成一条在X×Y里头的曲线跟每一个纤维相交的一点，这时整个的空间为X×Y，我把它称为E。近几十年来，数学上一个重要的发展就是把这个观念推广，我们要整个的空间不是X×Y，只是局部的是X×Y的形状，我叫E是locally
a product，是局部才是一个积，不是整个(global)积。
什么叫局部积呢？局部积是说，X空间可以用一组邻域(neighborhood)来覆盖，也就是说X=U[α]U_α，X等于U_α这些邻域联集起来，两个邻域可以相交，它的共同点不一定是空的(empty)。locally a product就是说：E可以是一个projection project到X,X称为底空间(base space)，E不一定等于X×Y，但是局部的等于U_α×Y，所以E=U[α](U_α×Y)。就是说E这个空间是在X空间上头，X是个底空间，整个的E不是X乘上另一个空间，但是限于一个邻域的话，它是的。这个叫做矢量丛(vector
bundle)。最简单的一个例子是：切线丛(Tangent bundle)。
如果在三维空间取一个球面，在每一点有一个切空间，这就是它的纤维。但是所有在球面上头切的矢量并不等于底空间球面乘切线集，所有的space of all tangent vectors不一定等于底空间乘上纤维。实际上不是的。要证明这一定不是的在拓扑上不是最简单的情形，需要一点观念才能证明这样的事实。这事实是说，所有二维球面上头的切矢量是一个四维空间，因为球面是二维的，每一点的切矢量又是二维。但是这个四维空间不是球面乘一个平面，拓扑上讲不是一个product，需要一点观念才能证明。所以总而言之，一个流形(manifold)的切丛一般情形下不一定是一个product，这是一个例子。
我今天要讲的内容可以分成几个题目：vector bundles;connections;curvature;chas.
forms;chas.classes;Maxwell equations;Yang-Mills equations。
在座的大概很少人知道什么是Yang-Mills equations，这是近代物理上一个非常基本的概念。我刚才已经讲了矢量丛。所以底下要讲什么是联络(connections)。这是一个非常基本的概念。这个观念非常简单，假设我们有这样的一个矢量丛，要讨论一个section，s是一个section，section者就是刚才所说的X到E的映射，使得πｏs=identity。整个图就是说一大簇纤维的一个截面。这个在数学上、物理上是非常基本的观念。比方说，矢量场(vector field)是一个section，张量场(tensor
field)是一个section。现在我们的问题说，既然有这section（section就是我刚才所说的函数的推广），要用微积分的话，第一样要会微分，怎么样式微分？因此要研究section，第一样要怎样微分，这个不简单，因为我们的空间只是个局部积，只是在局部U_α的邻域上，E这空间有座标(x,y)，这时我们把这y座标叫做y_α，因为这个座标与U_α的选择有关。现在我们知道y_α是x的函数，这与邻域的选择有关。如果换个邻域U_β，在这上头的点，又有另外的座标(x,y_β)，x是同一点，在U_α和U_β相交的地方。把这同一点x看成U_α的点话，它的fiber有y_α的座标。换成U_β的点，又有y_β座标。这两组座标之间有一个关系。这矢量丛我们假定这关系是线性的。所以这座标用分量写下来的话，叫做y^i_α跟y^j_β，y^i_α和y^j_β之间有一个线性关系y^i_α(x)=∑g^i_j,αβ(x)y^j_β(x)，g这个线性关系可以是x的函数。诸位要是对力学有经验的话，比方说，矢量场（vector
field），它的分量变换是线性的，它的系数就是系数变换的Jacobian。假使是一个张量的话，它的系数的变换是的一个tensor product。现在把i、j去掉，写成y_α(x)=g_αβ(x)y_β(x)，这样是说，y_α,y_α是代表一个矩阵，g_αβ是一个q阶方阵，这些矩阵的元素都是x的函数。你看了这个方程式就知道微分不简单了，我把y_α微分成dy_α，但利用这个式子，dy_α又等于g_αβdy_β加上dg_αβy_β。如果定义这个微分，就拿y的分量来定义微分的话，这个微分没有你所需要的性质。换句话说，这个微分与邻域的选择有关，不是完全确定的。换了邻域的话，多了挺麻烦的一项，所以定微分发生困难，因此我们就要引进一个所谓绝对微分（absolute
differentiation or covariant differentiation）。
covariant differentiation现在大家叫做连络（connection）。connection就是能微分一个section，能够求函数的微分。换句话说，假使有一个section的话，我要求它的微分，它是一个微分式，而它的值是个section，对于这样的一个微分，我们需要它有什么条件？其实很简单，有两个条件：
（1）D(s_1+s_2)=Ds_1+Ds_2
（因为纤维是个矢量空间（vector space），所以矢量空间两点可以相加。）
（2）D(fs)=fDs+df(×)s
假使有一个section，f是一个函数，f:X->R or C。如果把section用函数一乘的话仍旧是个section，矢量空间上一点，拿数目一乘是另外一点。现在要问，假使一个section被函数一乘的话，应该合于什么性质？当然啦！我们要它的导数（derivation）。换句话说，我们要这个东西等于fDs，应为f是一个函数，函数的微分已经有意义了，所以加上df(×)s，(×)是tensor product。所以一个连络就是一个section的微分，适合这两个最简单的条件。很容易证明连络一定存在，并且不止一个。最要紧，最简单的一个连络的例子就是Levi-Civita平行性。你要念黎曼几何的话，这是一个基本的观念。
曲率（curvature）就是说，connection既然很多，有一个connection跟另外一个connection不一样，那么怎样描述它不一样的地方，怎样描写它不同的局部性质？因为纤维是一个q维的矢量空间，要描写矢量空间最好在每一个矢量空间里头取一个基底（basis）。所以我现在要取一个基底叫s_i,1<=i<=q。因此我们可以把Ds_i表成∑[j]w^j_i(×)s_j,1<=i,j<=q,是s_j的平直组合。因为D是个微分，所以这是个平直组合，它的系数是一次微分式。所以我们就有一个方阵w=(w^j_i)，这是一个q*q的方阵，它的每一个元素都是一次微分式（linear
differential form）。诸位如果念过黎曼几何的话，可以把w^j_i写成Γ^j_ikdx^k，就可以看出它的系数在黎曼空间的特别情形，就是所谓的Christoffel symbols。不过我们讨论的情形比黎曼几何的情形要广的多了，因为黎曼几何的情形，它的纤维是切空间，现在是任意的空间。这情形是一样的，所以这个就是Christoffel symbols的推广。这个方程我把它写为Ds=ws，意思就是说s代表一个1*q的矩阵， w是q*q的矩阵。w中的元素都是一次微分式，与基底的选择有关。
从欧拉示性类到Morse理论http://www.docin.com/p-474173598.html
从Gauss-Bonnet定理内外蕴证明到陈类http://www.docin.com/p-117044725.html
摘要：高斯-博内定理是联系流形的局部几何性质和整体的拓扑特征的重要定理。Allendoefer和Weil运用局部嵌入的方法（即外蕴方法）证明了对一般的闭的黎曼流形成立的推广的高斯-博内定理。随后陈省身给出了推广的高斯-博内定理的内蕴证明。开创了大范围内蕴几何的新篇章。他运用活动标架方法描写联络和曲率，把所有的因素都放在标架丛来考虑，并运用切球丛上的内蕴地联系着底流形的微分形式，把对于底流形上的微分形式的积分转化到切球丛上的。这种内蕴证明的方法对微分几何的发展产生了深远的影响。陈省身随后又由此发现了复纤维丛上的拓扑不变量——陈类，它是一种重要的示性类，因为在复纤维丛上考虑的示性类比其它的示性类比其它的示性类更简洁，而且其它的示性类（比如Pontrjagin类）也可由陈类更简单的表示出来。本文简要介绍了Allendoefer和Weil关于高斯-博内定理的外蕴证明（局部嵌入方法），总结和解释了陈省身的内蕴证明方法，并介绍陈类这一重要理论的出现。高斯-博内定理的内蕴证明是十分简洁而漂亮的，本文分析了内蕴证明对微分几何所产生的重要影响，以及运用切球丛方法的重要意义。
关键词：微分几何，高斯-博内定理，陈类，内蕴证明，埃尔米特流形
http://www.docin.com/p-338693552.html
数学工作
高斯-博内公式是19世纪几何学中曲面几何的一个伟大成就。它把曲率（几何）与欧拉数（拓扑）联系起来。
∫_MKdA+∫_dMk_gds=2πχ(M)，
其高维推广由Allendoefer-Weil在1942年给出，但他们的证明是外在的并且非常复杂。一个内蕴的证明是需要的。
陈省身第一个基础性工作是他在1943年关于高斯-博内公式的内蕴证明。
正如霍普夫所言,陈省身的内蕴证明开创了微分几何的一个崭新时代。
∫_MPf(Ω)=(2π)^nχ(M)
陈省身引入作为复向量丛示性类的陈类。其中他使用了阻碍（obstruction）理论，Schubert微积分和向量丛上的曲率形式。陈类在代数几何中是基本的。
c(V)=c_0(V)+c_1(V)+c_2(V)+…
大概在同时期，庞特里亚金引入实丛的庞特里亚金类，后来证明它们可以由陈类通过复化得到。
p_k(E)=p_k(E,Z)=(-1)^kc_(2k)(E(×)C)∈H^(4k)(M,Z)
陈省身奠定了复流形上埃尔米特几何的基础。他引入陈联络的概念并用它的曲率形式来定义陈类。
陈联络定义为：
1保度量g，▽g=0
2保复结构J
3The torsion is pure in its indices
陈省身的通过曲率形式对陈类的明确表示是极其重要的。它提供了更多的信息且在使用这些示性类时比拓扑学家更具优势，它建立了分析与拓扑之间的一个桥梁，例如，丘成桐解决卡拉比猜想就是这方面一个很好的例子。
det(itΩ/(2π)+I)=∑[k]c_k(V)t^k