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題目描述
Description
已知N個正整數：A1、A2、……、An 。今要將它們分成M組，使得各組數據的數值和最平均，即各組的均方差最小。均方差公式如下：
,其中σ爲均方差，
是各組數據和的平均值，xi爲第i組數據的數值和。
Input
第一行是兩個整數，表示N,M的值（N是整數個數，M是要分成的組數）
第二行有N個整數，表示A1、A2、……、An。整數的範圍是1–50。
（同一行的整數間用空格分開）
Output
這一行只包含一個數，表示最小均方差的值(保留小數點後兩位數字)。
Sample Input
6 3
1 2 3 4 5 6
Sample Output
0.00
HINT
對於全部的數據，保證有K<=N <= 20，2<=K<=6
題解
模擬退火的過程也和真實的退火類似：首先設定初溫，然後慢慢降溫，降溫的同時讓解對應的點移動。每次從當前點試圖移動到另一個點時，若另一個點的函數值優於當前點的函數值，則接受這個移動，否則以一定的概率接受移動。這個概率隨着溫度的降低而減小。已有人證明，只要運行的時間足夠長，模擬退火是一定可以獲得最優解的。
1 設定初溫T0 以及初始解S。
2 在S 的鄰域內隨機選取一個解S ′，若E(S ′) < E(S)，則令
S=S ′，否則令Δt = E(S ′)-E(S)，以T/T0的概率令S=S ′。
3 減小T 的值，若T< T1 則停止，否則轉(2)。
我們可以在相同的溫度下執行若干次步驟(2) 後再進行降溫。模擬退火中有幾個重要的參數：初始溫度T0，相同溫度下的迭代次數k，以及降溫的方式（線性、指數）。如果參數設置得當，可能在很快就可以得到最優解或者非常優的次優解。反之可能運行幾個小時都只能得到很差的解。考試時，我一般將T0 的值設在1000 ~10000 左右，降溫的方式一般採取指數下降，即每次令T=a*T，a是一個小於1 的值，比如0.9、0.99999 等。而迭代次數根據考試時間（提交答案題）或者題目時限（傳統題）而定。有時降溫方式採取線性下降會取得更好的效果。
總而言之，考試時不要隨意地選擇參數，應該多試幾組參數，通過向屏幕輸出當前最優解來判斷參數的好壞。
在此題中首先隨機設定每個元素所在的組，然後求出初始的方差，然後開始退火，每次退火時首先隨機選一個元素t，並得到它所在的組x，然後需要選一組y,把t放入組y中，若溫度高的話，此時狀態不穩定，很難使最終的搜索結果儘量更優，那麼就需要貪心地選當前元素值之和最小的組。若溫度低的話，此時狀態比較穩定，而且各個組的元素和基本上差不多，此時就需要隨機選個y，然後嘗試將t放入組y中，若新解更優，則把舊解更新爲新解，否則在[0,T0)隨機一個數，若隨機的數比T小，那麼就把舊解更新爲新解(T越小，在這種情況下更新解的概率也就越小，T的大小相當於是解的可靠性，T越小，說明此時解越可靠，在新解並不優的情況下改變原有解的概率也就越小)，否則保持原有的解不變。
我們需要重複上述過程多次，就很可能得到最優解了。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
int n,m,pos[30],sum[30],a[30];
double ans,minans=1e9,T,avr;
void solve(){
memset(sum,0,sizeof(sum));
ans=0; T=10000;
for(int i=1;i<=n;i++){
pos[i]=rand()%m+1;
sum[pos[i]]+=a[i];
}
for(int i=1;i<=m;i++) ans+=(sum[i]-avr)*(sum[i]-avr);
while(T>0.1){
T*=0.9;
int t=rand()%n+1,x=pos[t],y;
if(T>500) y=min_element(sum+1,sum+1+m)-sum;
else y=rand()%m+1;
if(x==y) continue;
double tmp=ans;
ans-=(sum[x]-avr)*(sum[x]-avr);
ans-=(sum[y]-avr)*(sum[y]-avr);
sum[x]-=a[t]; sum[y]+=a[t];
ans+=(sum[x]-avr)*(sum[x]-avr);
ans+=(sum[y]-avr)*(sum[y]-avr);
if(ans<=tmp||rand()%10000<=T) pos[t]=y;
else{
sum[x]+=a[t]; sum[y]-=a[t]; ans=tmp;
}
minans=min(minans,ans);
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),avr+=a[i];
avr=avr/m;
for(int i=1;i<=10000;i++) solve();
printf("%.2f\n",sqrt(minans/m));
return 0;
}