bzoj4008: [HNOI2015]亞瑟王

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bzoj4008

題目描述

Description

小 K 不慎被 LL 邪教洗腦了，洗腦程度深到他甚至想要從亞瑟王邪教中脫坑。
他決定，在脫坑之前，最後再來打一盤亞瑟王。既然是最後一戰，就一定要打得漂亮。衆所周知，亞瑟王是一個看臉的遊戲，技能的發動都是看概率的。作爲一個非洲人，同時作爲一個前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成傷害的期望值。但他已經多年沒寫過代碼，連 Spaly都敲不對了，因此，希望你能幫幫小 K，讓他感受一下當歐洲人是怎樣的體驗。
本題中我們將考慮遊戲的一個簡化版模型。
玩家有一套卡牌，共 n張。遊戲時，玩家將 n 張卡牌排列成某種順序，排列後
將卡牌按從前往後依次編號爲 1 ~ n。本題中，順序已經確定，即爲輸入的順序。
每張卡牌都有一個技能。第 i 張卡牌的技能發動概率爲 pi，如果成功發動，則會對敵方造成di點傷害。也只有通過發動技能，卡牌才能對敵方造成傷害。基於現實因素以及小K非洲血統的考慮，pi不會爲 0，也不會爲 1，即 0 < pi < 1。
一局遊戲一共有 r 輪。在每一輪中，系統將從第一張卡牌開始，按照順序依次
考慮每張卡牌。在一輪中，對於依次考慮的每一張卡牌：
1如果這張卡牌在這一局遊戲中已經發動過技能，則
1.1 如果這張卡牌不是最後一張，則跳過之（考慮下一張卡牌）；
否則（是最後一張），結束這一輪遊戲。
2否則（這張卡牌在這一局遊戲中沒有發動過技能），設這張卡牌爲第 i 張
2.1將其以 pi的概率發動技能。
2.2如果技能發動，則對敵方造成 di點傷害，並結束這一輪。
2.3如果這張卡牌已經是最後一張（即 i 等於n），則結束這一輪；否則，
考慮下一張卡牌。
請幫助小 K 求出這一套卡牌在一局遊戲中能造成的傷害的期望值。

Input

輸入文件的第一行包含一個整數 T，代表測試數據組數。
接下來一共 T 組數據。
每組數據的第一行包含兩個用空格分開的整數 n和r，分別代表卡牌的張數和
遊戲的輪數。
接下來 n行，每行包含一個實數和一個整數，由空格隔開，描述一張卡牌。第
i 行的兩個數爲 pi和 di，分別代表第 i 張卡牌技能發動的概率（實數）和技能發動造成的傷害（整數）。保證 pi最多包含 4位小數，且爲一個合法的概率。

Output

對於每組數據，輸出一行，包含一個實數，爲這套卡牌在這一局遊戲中造成的
傷害的期望值。對於每一行輸出，只有當你的輸出和標準答案的相對誤差不超過10^-8時——即|a-o|/a<=10-8時(其中a是標準答案，o是輸出)，你的輸出纔會被判爲正確。
建議輸出10 位小數。

Sample Input

1
3 2
0.5000 2
0.3000 3
0.9000 1

Sample Output

3.2660250000

HINT

一共有 13 種可能的情況：
1. 第一輪中，第 1張卡牌發動技能；第二輪中，第 2張卡牌發動技能；
概率爲 0.15，傷害爲5。
2. 第一輪中，第 1張卡牌發動技能；第二輪中，第 3張卡牌發動技能；
概率爲 0.315，傷害爲3。
3. 第一輪中，第 1張卡牌發動技能；第二輪不發動技能；
概率爲 0.035，傷害爲2。
4. 第一輪中，第 2張卡牌發動技能；第二輪中，第 1張卡牌發動技能；
概率爲 0.075，傷害爲5。
5. 第一輪中，第 2張卡牌發動技能；第二輪中，第 3張卡牌發動技能；
概率爲 0.0675，傷害爲4。
6. 第一輪中，第 2張卡牌發動技能；第二輪不發動技能；
概率爲 0.0075，傷害爲3。
7. 第一輪中，第 3張卡牌發動技能；第二輪中，第 1張卡牌發動技能；
概率爲 0.1575，傷害爲3。
8. 第一輪中，第 3張卡牌發動技能；第二輪中，第 2張卡牌發動技能；
概率爲 0.04725，傷害爲4。
9. 第一輪中，第 3張卡牌發動技能；第二輪不發動技能；
概率爲 0.11025，傷害爲1。
10. 第一輪不發動技能；第二輪中，第 1張卡牌發動技能；
概率爲 0.0175，傷害爲2。
11. 第一輪不發動技能；第二輪中，第 2張卡牌發動技能；
概率爲 0.00525，傷害爲3。
12. 第一輪不發動技能；第二輪中，第 3張卡牌發動技能；
概率爲 0.011025，傷害爲1。
13. 第一輪不發動技能；第二輪亦不發動技能；
概率爲 0.001225，傷害爲0。
造成傷害的期望值爲概率與對應傷害乘積之和，爲 3.266025。
對於所有測試數據， 1 <= T <= 444， 1 <= n <= 220， 0 <= r <= 132， 0 < pi < 1， 0 <= di <= 1000。
除非備註中有特殊說明，數據中 pi與di均爲隨機生成。
請注意可能存在的實數精度問題，並採取適當措施。

題解

f[i,j] 表示考慮前i張牌，還有j輪未打出牌的概率。
考慮f[i,j] 它可能是前i-1張牌，還有j輪未打出牌，並且第i張牌在這j輪中均未打出。那麼f[i,j]+=f[i−1,j]∗(1−pi)j 。
還有可能是前i-1張牌，還有j+1輪未打出牌，第i張牌在這j+1輪的某一輪被打出。那麼f[i,j]+=f[i−1,j+1]∗(1−(1−pi)j+1) 。在計算概率是順便算一下期望就好了。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

double f[500][500],p[500],ans;
int n,t,m,d[500]; 

int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]);
        memset(f,0,sizeof(f));
        ans=0; f[0][m]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            double tmp=1;
            for(int j=0;j<=m;j++){
                f[i][j]+=f[i-1][j]*tmp;
                f[i][j]+=f[i-1][j+1]*(1-tmp*(1-p[i]));
                ans+=f[i-1][j+1]*(1-tmp*(1-p[i]))*d[i];
                tmp*=(1-p[i]);
            }
        }
        printf("%.10lf\n",ans);
    }
    return 0;
}