bzoj3571: [Hnoi2014]畫框

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bzoj3571

題目描述

Description

小T準備在家裏擺放幾幅畫，爲此他買來了N幅畫和N個畫框。爲了體現他的品味，小T希望能合理地搭配畫與畫框，使得其顯得既不過於平庸也不太違和。對於第 幅畫與第 個畫框的配對，小T都給出了這個配對的平凡度Aij 與違和度Bij 。整個搭配方案的總體不和諧度爲每對畫與畫框平凡度之和與每對畫與畫框違和度的乘積。具體來說，設搭配方案中第i幅畫與第Pi個畫框配對，則總體不和諧度爲

小T希望知道通過搭配能得到的最小的總體不和諧度是多少。

Input

輸入文件第 行是一個正整數T ，表示數據組數，接下來是T組數據。
對於每組數據，第 行是一個正整數N，表示有N對畫和畫框。
第2到第N+1行，每行有N個非負整數，第i+1 行第j個數表示Aij 。
第N+2到第2*N+1行，每行有N個非負整數，第i+N+1 行第j個數表示Bij 。

Output

包含T行，每行一個整數，表示最小的總體不和諧度

Sample Input

1
3
4 3 2
2 3 4
3 2 1
2 3 2
2 2 4
1 1 3

Sample Output

30

HINT

第1幅畫搭配第3個畫框，第2幅畫搭配第1個畫框，第3 幅畫搭配第2個畫框，則總體不和諧度爲30
N<=70,T<=3,Aij<=200,Bij<=200

題解

我們將每個方案看成平面上的一個點(∑ni=1Ai,Pi,∑ni=1Bi,Pi) 設橫座標爲x，縱座標爲y，x*y=k。那麼這是條雙曲線，我們要最小化k，就是希望這條雙曲線最接近座標軸。滿足要求的點一定在一個下凸殼上，考慮分治：
1.找到平面上y最大和x最大的點（可以用KM算法），將他們連線。
2.找到距離此直線最遠的點。與左右的點分別遞歸下去。怎麼找這個點？只要那個點與這兩個點構成的三角形面積最大即可。用叉積判斷。
S=(b.x−a.x,b.y−a.y)∗(c.x−a.x,c.y−a.y)
=(b.x−a.x)∗(c.y−a.y)−(b.x−a.y)∗(c.x−a.x)
=(a.y−b.y)c.x+(b.x−a.x)c.y+(a.x−b.x)∗a.y+(b.y−a.y)a.x
注意到 (a.x−b.x)∗a.y+(b.y−a.y)a.x 是常數，我們只要最大化(a.y−b.y)c.x+(b.x−a.x)c.y 。用(a.y−b.y)∗Ai,j+(b.x−a.x)∗Bi,j 當邊權跑一遍KM就可以了。

---

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;

#define N 80
typedef pair<int,int>P;
P l,r;
int tx[N],ty[N],a[N][N],b[N][N],d[N][N],match[N],n,fix,T;
bool vx[N],vy[N];

bool find(int x){
    vx[x]=true;
    for(int y=1;y<=n;y++)
    if(!vy[y]){
        int tmp=tx[x]+ty[y]-d[x][y];
        if(!tmp) {
            vy[y]=true;
            if(!match[y]||find(match[y])){
                match[y]=x;
                return true;
            }
        } else fix=min(fix,tmp);
    }
    return false;
}
P km(){
    memset(tx,192,sizeof(int)*(n+1));
    memset(ty,0,sizeof(int)*(n+1));
    memset(match,0,sizeof(int)*(n+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=n;j++) tx[i]=max(tx[i],d[i][j]);
    for(int x=1;x<=n;x++){
        while(true){
            memset(vy,false,sizeof(bool)*(n+1));
            memset(vx,false,sizeof(bool)*(n+1));
            fix=1000000007;
            if(find(x)) break;
            for(int i=1;i<=n;i++){
                if(vx[i]) tx[i]-=fix;
                if(vy[i]) ty[i]+=fix;
            }
        }
    }
    P ans(0,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) ans.first+=a[match[i]][i],ans.second+=b[match[i]][i];
    return ans;
}
int solve(P l,P r){
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=n;j++) d[i][j]=a[i][j]*(r.second-l.second)+b[i][j]*(l.first-r.first);
    P mid=km();
    if(mid==l||mid==r) return min(l.first*l.second,r.first*r.second);
    return min(solve(l,mid),solve(mid,r));
}

int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&b[i][j]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=n;j++) d[i][j]=-a[i][j];
        l=km();
        for(int i=1;i<=n;i++)
         for(int j=1;j<=n;j++) d[i][j]=-b[i][j];
        r=km();
        printf("%d\n",solve(l,r));
    }
    return 0;
}