筆試筆記

1、一個盒子中裝有黑白兩色球，其中3只紅球，2只黑球，如果不放回的依次取兩次球，第二次取到紅球的概率？

$解:$當第一次取到紅球時，第二次取到紅球的概率 $P=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{10}$
當第二次取到黑球時，第二次取到紅球的概率$P=\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{10}$
所以綜合兩種情況，第二次取到紅球的概率$P=\frac{3}{10} + \frac{3}{10}=\frac{3}{5}$

2、一個樓梯總有12階，你最多可以一下跨3階，那麼你上到最上面的臺階共有幾種邁法？

$解:$這是一個斐波那契問題的變體。
【LeetCode】70. Climbing Stairs【牛客網】變態跳臺階

用n表示臺階的階數，a(n)表示上到第n階的不同走法

1. 當 n=1 時，顯然a(1)=1；
2. 當 n=2 時，可以一步跨一級也可以一步跨兩級，因此a(2)=2；
3. 當 n=3 時，可以一步一步跨到3級也可以一次跨到3級，還可以第一步跨1級，第二步跨兩級或第一步跨2級第二步跨1級。總共有4種不同的走法，a(3)=4。
4. 如果第一步跨一級臺階,那麼還剩下三級臺階,由③可知有a(3)=4（種）跨法.
   如果第一步跨二級臺階,那麼還剩下二級臺階,由②可知有a(2) =2（種）跨法.
   如果第一步跨三級臺階,那麼還剩下一級臺階,由①可知有a(1) =1（種）跨法.
   根據加法原理,有a (4)= a(1) +a(2) +a(3) =1+2+4=7
5. 類推 ,有
   a(5)= a(2) +a(3)+a(4) =2+4+7=13
   a(6)= a(3) +a(4)+a(5) =4+7+13=24
   a(7)= a(4) +a(5)+a(6)=7+13+24=44
   a(8)= a(5) +a(6) +a(7) =13+24+44=81
   a(9)= a(6)+a(7)+a(8) =24+44+81=149
   a(10)= a(7) +a(8) +a(9)=44+81+149=274
   一般地,有
   a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)
   答：按此上樓方式,12級臺階共有927種不同走法.

3、 52張牌，沒有大小王，平均分給4個人，至少一個人拿到至少2張A的概率是多少？

$解:$ 52張牌分給四個人，則每人13張，全排列是52！
至少一個人拿到至少2張A的反面情況即爲：4個人每個人拿一張A
這種情況爲：每13張牌中有一個是A，四個A的全排列爲4！，則此種情況一共爲：
4! * C(13,1) * C(13,1) * C(13,1) * C(13,1)乘以剩下的48張牌的全排48！
所以答案應該爲：1- 4! * C(13,1) * C(13,1) * C(13,1) * C(13,1)*48！/52! 約等於 0.895
C(13,1)：每13張牌中必須有一張A才行

4、 有人在馬路上,20分鐘內碰到一輛車行駛過去的概率是75%,問10分鐘內碰到一輛車行駛過去的概率爲?

$解:$ 20分鐘內一輛車都沒有的概率爲25%，
講的通俗一點，前20分鐘有車通過的概率：
包括：前10分鐘無車，後10有車
前10有車，後10無車
前10有車，後10有車.
所以前20分鐘無車的概率爲：1-0.84 = 0.16.
兩個10分鐘相互獨立，所以10分鐘無車通過的概率爲x^2 = 0.25 -->x = 0.5
所以有車通過的概率爲50%。