這是Strang教授的第十講,講解的內容是矩陣的4個基本子空間,包括前面介紹過的列空間、零空間還有另外兩個子空間,理解這4個基本子空間對學習線性代數十分重要。
四個基本子空間
對於矩陣A,它的四個基本子空間指的是:
1. 列空間 ,在內;
2. 零空間 ,在內;
3. 行空間 ,在內;
4. 左零空間,在內;
前面的課程中已經學習過列空間和零空間,行空間和左零空間一種簡單的理解就是A轉置的列空間和零空間。行空間是A行向量生成的向量空間,左零空間是全部解構成的向量空間,他們和列空間和行空間定義完全一樣,只是將矩陣A的行和列互換了,也就是對A做了轉置。上一課講解了向量空間和維數的基本概念,爲了理解矩陣的4個基本子空間具備的良好性質,下面分別給出4矩陣A的4個基本子空間的維數和尋找它的一組基。
以下面的矩陣說明說明:
1.行空間
上面的矩陣A通過消元得到行簡化階梯矩陣矩陣R,通過R我們知道矩陣的主元個數爲2,也就是rank(A)=rank(R)=2,說明A的行1和行2線性無關,行3是由行1和行2線性組合得到的,說明A的行空間是由A(R)的主元所在的行向量(A的行1向量和A的行2向量)生成的,.有一點需要說明,我們在得到R的過程中做的是行變換,所以矩陣R和局長A具有相同的行空間。上面的例子一般化之後,結論就是:
行空間的維數是矩陣的秩r,R的非零行構成行空間的一組基
2.列空間
矩陣A的秩r同樣代表了A的列向量中線性無關向量的個數,所以:
列空間的維數是矩陣的秩r,A主元所在的列構成列空間的一組基
這裏要說明的是,A和R的列空間不一樣,但他們的維數是一樣的,應爲Ax=0 <=> Rx=0。
3. 零空間
零空間是Ax=0的解構成的向量子空間,在前面通過消元法求解Ax=0的解的過程中,我們知道Ax=0有n-r個特解,也就是自由變量的數目,而就是由這n-r個特解生成的向量空間,所以:
零空間的維數是n-r,Ax=0的特解構成零空間的一組基
4.左零空間
左零空間是由的特解生成的向量空間,爲什麼叫左零空間呢,將做轉置得到,,是行向量位於A的左邊,這就是爲什麼它被叫做左零空間。
上例矩陣中左零空間的的維數爲1,因爲和具有相同的秩r=2,所以的特解爲1,所以左零空間的維數爲1。那麼如何求得左零空間的一組基呢,方法1:當然可以通過對重頭開始對消元求得的所有特解構成一組基。方法2:在對A消元過程中我們知道EA=R,對於上例子中的A,E如下:
通過EA=R我們可以直接寫出左零空間的一組基,本例中R第三行爲0向量,所以左零空間的一組基是E的第三行的行向量(-1 0 1),因爲利用矩陣的乘法的行方法,單獨將E的第三個行向量提出來與A相乘得到R的第三個行向量,表達式:
,正好是的一個特解。
方法2總結就是R的零行對應的消元矩陣E所在的行向量構成矩陣A左零空間的一組基。總結:
左零空間的維數是m-r,的特解構成左零空間的一組基
5. 四個基本子空間總結
通過上面的矩陣A的4個基本子空間的分析,對於mxn的矩陣A,我們可以做出如下性質美好的總結:
行空間和零空間在實數空間中,它們的維數分別是r和n-r.
列空間和左零空間在實數空間中,他們的維數分別是r和m-r.
矩陣A的子空間大圖
大圖包含了矩陣4個基本子空間的全部信息,大圖:
從大圖中可以看到,它還反應了4個基本子空間的一個實際關係,前面並沒有挑明,那就是矩陣A的行空間和零空間是垂直的,垂直的意思是行空間中的向量與零空間中的向量·積爲0;列空間和左零空間是垂直的。完全理解這幅圖,才能真正理解線性方程組Ax=b的背後的實際意義。
本節課對應《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》3.6章節。
下節課: 矩陣空間、秩1矩陣和小世界圖-線性代數課時11(MIT Linear Algebra , Gilbert Strang)