這是Strang教授的第十四講,講解的內容是正交的概念、四個子空間的正交關係,並在四個子空間的正交關係上解釋Ax=b的解在四個子空間的映射關係,更進一步理解Ax=b,另外稍微提及了當Ax=b無解的時候怎樣求解?
正交概念
兩個向量v和w正交意思是向量v垂直於w,那麼如何判斷向量v和w正交呢?在幾何上可以通過判斷v和w的夾角爲90°,那麼在線性代數裏是通過計算v和w的點積:
兩個向量正交 :
那麼爲什麼兩個向量正交,它們的點積就爲0呢?下面給出一個簡單的證明:
假設v和w是直角三角形的直角邊,那麼這個直角三角形的斜邊向量是v+w,根據直角三角行的特點:直角邊的平方之和等於斜邊的平方有:
得證。
根據判斷向量正交的條件,知道有個特別的向量,它與所有的向量都正交,這個向量就是0向量。
四個子空間的正交關係
這裏首先要給出一個定義,關於正交子空間。
定義:兩個子空間V和W,如果V中的每個向量v和W中的每個向量w都正交,就說V和W正交.
四個基本子空間擁有很良好的正交性質,體現在:1.零空間與行空間是中的正交子空間;2.左零空間與列空間是中的正交子空間。下面給出零空間與行空間正交的推導,因爲左零空間與列空間的推導完全一樣,只是將A換成.推導:
,根據Ax=0知道A中所有行向量與x均正交,由於A的行空間是有row(1) ... row(m) 生成的,所以A行空間的所有向量均與x正交,所以A的行空間與零空間正交,得證。
正交補
四個基本子空間的正交關係還不僅僅是正交子空間的關係,它們在維數上還存在恰好正確的關係:dim()+dim() = n,
dim()+dim()=m,他們不僅僅只是正交關係,他們是一組正交補。正交補的定義:
定義:子空間V的正交補包含所有與子空間V正交的向量,記作.
根據定義,就是,就。正交補的概念很重要,它表明中的任何一個向量x都可以拆分爲互爲正交補的來給你個子空間的向量之和。以Ax=b的解x爲例,x是屬於中的向量,x可以拆分爲在行空間的分量和零空間中的分量之和,即,Ax=b可以做如下拆解:
零空間分量:
行空間分量:
對於列空間確定的b,在行空間中有且只有1個通過矩陣A的左乘映射到列空間。證明:假設有另外的,那麼有,那麼在A的零空間中,又因爲和在行空間中,所以又在A的行空間中,所以只能是0向量,所以,也就證明了對於確定的b,的唯一性。下面的圖完全表達了Ax=b在A四個基本子空間中的映射關係:
看懂上面這幅圖很重要。
當b不在A的列空間的時候,如何求解Ax=b
當Ax=b無解的時候,如何求解Ax=b?這看起來是一個十分荒謬的問題,但實際上有很多實際應用都是求解這樣的問題,比如我們對一個系統創建了一個線性模型,線性模型只有兩個未知數也就是說n=2,而爲了確定這個系統的數學模型我們做了100次實驗得到100組實驗結果,也就是說m=100,那麼求解這個線性系統就是求解100個方程、2個未知數的方程的解,往往這樣的Ax=b都是無解的。那這時候再數學上我們怎麼辦?這時候往往我們可以通過最小二乘的方法來求得最優解。看着上圖,這種情況下b不在列空間中,而是在列空間和左零空間以外的區域,最小二乘的思想是將b分解成列空間中的向量p和做零空間中的向量e,將求解Ax=b變爲求解Ax=p,而e是誤差向量。
下面各處最小二乘求解Ax=b的公式,在16講中會講解它是如何來的。最小二乘求解:
最小二乘公式:
這裏給出的的幾個重要特點(證明在16講):1. ; 2.; 3.可逆當A的各列線性無關。
本課的內容對應《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》4.1章節。