1、問題描述:
在一塊電路板的上、下兩端分別有n個接線柱。根據電路設計,要求用導線(i,π(i)) 將上端接線柱i與下端接線柱π(i)相連,如下圖。其中,π(i),1≤ i ≤n,是{1,2,…,n}的一個排列。導線(I, π(i))稱爲該電路板上的第i條連線。對於任何1 ≤ i ≤ j ≤n,第i條連線和第j條連線相交的充要條件是π(i)> π(j).
π(i)={8,7,4,2,5,1,9,3,10,6}
在製作電路板時,要求將這n條連線分佈到若干絕緣層上。在同一層上的連線不相交。電路佈線問題要確定將哪些連線安排在第一層上,使得該層上有儘可能多的連線。換句話說,該問題要求確定導線集Nets = {i,π(i),1 ≤ i ≤ n}的最大不相交子集。
2、最優子結構性質:
記N(i,j) = {t|(t, π(t)) ∈ Nets,t ≤ i, π(t) ≤ j }. N(i,j)的最大不相交子集爲MNS(i,j)Size(i,j)=|MNS(i,j)|。
(1)當i = 1時
(2)當i >1時
① j <π(i)。此時,(i,π(i)) 不屬於N(i,j)。故在這種情況下,N(i,j) = N(i-1,j),從而Size(i,j)=Size(i-1,j)。
② j ≥π(i)。此時,若(i, π(i))∈MNS(i,j),則對任意(t, π(t))∈MNS(i,j)有t < i且π(t)< π(i);否則,(t, π(t))與(i, π(i))相交。在這種情況下MNS(i,j)-{(i, π(i))}是N(i-1, π(i)-1)的最大不相交子集。否則,子集MNS(i-1, π(i)-1)∪{(i, π(i))}包含於N(i,j)是比MNS(i,j)更大的N(i,j)的不相交子集。這與MNS(i,j)的定義相矛盾。
若(i, π(i))不屬於MNS(i,j),則對任意(t, π(t))∈MNS(i,j),有t<i。從而MNS(i,j)包含於N(i-1,j),因此,Size(i,j)≤Size(i-1,j)。
另一方面,MNS(i-1,j)包含於N(i,j),故又有Size(i,j) ≥Size(i-1,j),從而Size(i,j)= Size(i-1,j)。
3、遞推關係
電路佈線問題的最優值爲Size(n,n)。由該問題的最優子結構性質可知,子問題最優值的遞歸關係如下:
自底向上,先算上排接線柱只有1個,2個的最優佈線,然後求上排接線柱有多個的最優佈線。具體代碼如下:
- //3d8 動態規劃 電路佈線問題
- #include "stdafx.h"
- #include <iostream>
- using namespace std;
-
- const int N = 10;
-
- void MNS(int C[],int n,int **size);
- void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m);
-
- int main()
- {
- int c[] = {0,8,7,4,2,5,1,9,3,10,6};//下標從1開始
- int **size = new int *[N+1];
-
- for(int i=0; i<=N; i++)
- {
- size[i] = new int[N+1];
- }
-
- MNS(c,N,size);
-
- cout<<"電路佈線最大不相交連線數目爲:"<<size[N][N]<<endl;
-
- int Net[N],m;
- Traceback(c,size,N,Net,m);
-
- cout<<"最大不相交連線分別爲:"<<endl;
- for(int i=m-1; i>=0; i--)
- {
- cout<<"("<<Net[i]<<","<<c[Net[i]]<<") ";
- }
- cout<<endl;
- return 0;
- }
-
- void MNS(int C[],int n,int **size)
- {
- for(int j=0;j<C[1];j++)
- {
- size[1][j]=0;
- }
-
- for(int j=C[1]; j<=n; j++)
- {
- size[1][j]=1;
- }
-
- for(int i=2; i<n; i++)
- {
- for(int j=0; j<C[i]; j++)
- {
- size[i][j]=size[i-1][j];//當i<c[i]的情形
- }
- for(int j=C[i]; j<=n; j++)
- {
- //當j>=c[i]時,考慮(i,c[i])是否屬於MNS(i,j)的兩種情況
- size[i][j]=max(size[i-1][j],size[i-1][C[i]-1]+1);
- }
- }
- size[n][n]=max(size[n-1][n],size[n-1][C[n]-1]+1);
- }
-
- void Traceback(int C[],int **size,int n,int Net[],int& m)
- {
- int j=n;
- m=0;
- for(int i=n;i>1;i--)
- {
- if(size[i][j]!=size[i-1][j])//此時,(i,c[i])是最大不相交子集的一條邊
- {
- Net[m++]=i;
- j=C[i]-1;//更新擴展連線柱區間
- }
- }
- if(j>=C[1])//處理i=1的情形
- {
- Net[m++]=1;
- }
- }
算法MNS時間和空間複雜度爲O(n^2)。Traceback時間複雜度爲O(n)。程序運行結果如下: