動態規劃案例-矩陣連乘(含表格填寫過程、問題理解、實例分析)

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問題

給定n個矩陣{A1, A2, …,An}，其中，Ai與Ai+1是可乘的，計算這n個矩陣的連乘積。從中找出一種乘次數最少的計算次序。

問題分析

 什麼是矩陣連乘

  學過線性代數的肯定懂得什麼是矩陣連乘，但是在這裏我還是要說一下(因爲我學過線代，但是當時看見題目還是懵逼的一批)。

  舉個例子：
  一個A矩陣：2×2和一個B矩陣：2×1再和一個C矩陣：1×3的矩陣連乘：
$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3\\ \end{vmatrix} × \begin{vmatrix} 1\\ 2\\ \end{vmatrix} × \begin{vmatrix} 3&2&1 \end{vmatrix}$
  這就是矩陣連乘了。

 爲什麼會出現乘次數不一樣的情況

  由於矩陣相乘滿足乘法結合律，即A×B×C=(A×B)×C=A×(B×C)，我們從實際例子上來看一下。

  1. 假如我們計算(A×B)×C，先算(A×B),此時乘法次數爲2×2×1=4次
$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3\\ \end{vmatrix} × \begin{vmatrix} 1\\ 2\\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 6\\ 7 \end{vmatrix}$
  2.我們再乘C矩陣，乘法次數爲4+2×1×3=10
$\begin{vmatrix} 6\\ 7 \end{vmatrix} × \begin{vmatrix} 3&2&1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 18&12&6\\ 21&14&7 \end{vmatrix}$
  1. 現在我們計算A×(B×C)，先算(B×C),此時乘法次數爲2×1×3=6次
$\begin{vmatrix} 1\\ 2 \end{vmatrix} × \begin{vmatrix} 3&2&1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3&2&1\\ 6&4&2 \end{vmatrix}$
  2.我們再用A矩陣乘以剛纔的結果，乘法次數爲6+2×2×3=18
$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3\\ \end{vmatrix} × \begin{vmatrix} 3&2&1\\ 6&4&2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 18&12&6\\ 21&14&7 \end{vmatrix}$
  通過上面的兩次運算，我們可以發現，在每次結合不同的矩陣，就能導致不同的乘法次數。

 爲什麼要用動態規劃算法

  1.首先，這個問題符合最優子結構性質：問題的最優解包含子問題的最優解。舉個簡單的例子來理解這句話：一個國家裏面最厲害的兵，
  肯定是他所在的軍營裏面最厲害的兵；各個軍營裏面最厲害的兵，經過選拔(武舉考試？)就可以有人脫穎而出，成爲這個國家最厲害的
  兵。
  2.其次就是，重疊子問題性質：子問題之間不獨立的同時(這是區分分治算法的關鍵)，少量子問題被重複解決了。說白了就是子問題之間有聯繫的同時有些計算重複了，我們可以在計算第一次的時候將結果記錄下來，以後再用到的時候，直接取值，不用再去花時間計算了。
  記錄下來，以後再用到的時候，直接取值，不用再去花時間計算了。

 如何用動態規劃算法求解

  以A₁:50×10 A₂:10×40 A₃:40×30 A₄:30×5 爲例，計算最少的乘法次數
  1.我們規定m[i,j]表示第i個矩陣到第j個矩陣之間的連乘(A_i×…×A_j)的最少乘法次數，那麼我們的問題就變成了求解m[1,n]。
  2.我們數組p[i-1]×p[i]來表示維數矩陣的維數(也就是多少行，多少列)，比如A矩陣是50行、10列，那麼矩陣A就可以表示爲：
  (p[0]=50)×(p[1]=10)。因此可以列出下表。

p[0]	p[1]	p[2]	p[3]	p[4]
50	10	40	30	5

  當我們準備好之後，就可以得到這麼一個式子：
$m[i,j]= \begin {Bmatrix} 0 &&&&& i ==j\\ min(m[i,k]+m[k,j]+p[i-1]p[k]p[j])&&&&&i<j \end{Bmatrix}$
  我們來理解這個式子：
  1.當i==j的時候，m[i,j]表示的就是一個矩陣的乘法次數，也就是0。
  2.當i<j的時候，此時的m[i,j]表示多個矩陣的連乘，將i~j個矩陣從第k個位置切開，也就
  是給第i ~ k個矩陣加括號，給k ~ j個矩陣加括號，那麼 矩陣連乘的次數 = 第一個矩陣連乘的次數 + 第二個矩陣連乘的次數 + 這兩個矩陣連乘的次數。

  接下來就是動態規劃的重點環節了：填表。

i \ m[i,j] / j	1	2	3	4
1	0	20000	27000	10500
2		0	12000	8000
3			0	6000
4				0

由此我們可以知道最小的乘法次數爲10500，那麼這個表是怎麼填，以及如何讀的呢？

i	j	m[i,j]
1	1	0
2	2	0
3	3	0
4	4	0
1	2	min{m[1,1]+m[2,2]+p0p1p2}=20000
2	3	min{m[2,2]+m[3,3]+p1p2p3}=12000
3	4	min{m[3,3]+m[4,4]+p2p3p4}=6000
1	3	min{m[1,1]+m[2,3]+p0p1p3 =27000 ，m[1,2]+m[3,3]+p0p2p3 =80000}=27000
2	4	min{m[2,2]+m[3,4]+p1p2p3 =8000 ，m[1,2]+m[3,3]+p1p3p4=27000}=8000
1	4	min{m[1,1]+m[2,4]+p0p1p4 =10500 ，m[1,2]+m[3,4]+p0p2p4 =36000 ，m[1,3]+m[4,4]+p0p3p4=34500}=10500

  從這個表中我們看出填剛纔那個表的順序是按對角線進行填寫.
  1.當i=1，j=4的時候最小乘法次數爲10500，對應的劃分爲m[1,1]+m[2,4]+p₀p₁p₄ =10500 ，也就是（A₁（A₂A₃A₄））
  2.我們繼續往下找m[2,4]對應的劃分m[2,2]+m[3,4]+p1p2p3 =8000 ，也就是（A₂（A₃A₄））
  3.最後我們就得到了最終的答案：（A₁（A₂（A₃A₄）））