遞歸案例-全排列

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問題

設計一個遞歸算法生成n個元素{r₁,r₂,…,r_n}的全排列。
eg：生成3個元素的全排列：{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}

問題分析

該類問題的解決方法有兩種：1，固定位置找元素 2，固定元素找位置
本例採用固定位置找元素的方法來解決這個問題。
以數組a[]={1,2,3}爲例，現要生成這三個元素的全排列。
1.我們放入第一個位置上的元素，我們有三個選擇，可以放a[0],a[1],a[2],我們先放入a[0]，也就是1

2.我們放入第二個位置上的元素，我們有兩個選擇，可以放a[1]或者a[2]

3.我們放入第三個位置上的元素，只剩下一個選擇。

4-6步的結果爲：

7-9步的結果爲：

算法設計

爲什麼要用遞歸

遞歸的定義：函數調用自身。
我認爲運用遞歸的條件就是：每一步進行的操作基本相同，並且問題規模逐漸減小。
通過上面的例子，首先確定第一個位置上的元素，將問題規模爲n分解爲3個問題規模爲n-1的子問題，其次每一個子問題進行的操作基本相同，都是在找元素。

遞歸函數參數的設計

從上面的問題分析中，我們可以得出3個很重要的元素：數據數組(存儲數據)、位置信息(來確定當前操作的是第幾個位置)、數組數據個數(用來判斷是否排列到最後一個位置)

我們來構造fun(int a[],int I,int n)函數，其中三個參數分別爲：a[]存儲數據的數組、i爲當前位置的序號、n爲數組的個數-1

算法分析

1.首先我們要確定第一個位置上的元素，第一個位置上的元素可以是數組數據中的任何一個，我們可以採用數組元素交換的方式來確定第一個位置上的元素。
2.當我們確定了第一個位置上的元素的時候，我們就需要調用遞歸函數，此時將位置信息+1，來保證我們開始確定第二個位置上的元素。依次下去，直到確定了最後一個元素。
3.在遞歸調用結束後，還需將數組數據元素交換成初始狀態，我們重複第一步的操作，這樣在最後一層遞歸完成之後就會依次將數組數據元素交換回來，使數組恢復成初始狀態，方便我們進行下一個子問題的操作。

   for(int j = i;j<=n;j++)
   {
    swap(a, i ,j);
    fun(a, i+1, n);
    swap(a, i ,j);
   }

4.當遇到遞歸出口的時候，輸出已經排列好的數組中的元素。

  if(i==n)
  {
   for(int j = 0;j<=n;j++)
   {
    System.out.print(a[j]);
   }
   System.out.println();
  }

代碼演示

遞歸函數

public static void fun(int a[],int i,int n)
 {
  if(i==n)
  {
   for(int j = 0;j<=n;j++)
   {
    System.out.print(a[j]);
   }
   System.out.println();
  }
  else
   for(int j = i;j<=n;j++)
   {
    swap(a, i ,j);
    fun(a, i+1, n);
    swap(a, i ,j);
   }
 }

交換函數
Java中注意交換，由於Java中沒有指針，所以採用數組引用傳遞。

public static void swap(int a[],int i,int j)
 {
  int temp;
  temp = a[i];
  a[i] = a[j];
  a[j] = temp;
 }

主函數調用

public static void main(String[] args) {
  int a[] = new int[]{1,2,3};
  fun(a, 0, 2);
 }

輸出結果