遞歸案例-正整數劃分

如果你對其他算法或者案例感興趣，請考慮閱讀我的以下文章。

遞歸案例-漢諾塔.
遞歸案例-全排列.
動態規劃案例-矩陣連乘(含表格填寫、問題理解、實例解決).
動態規劃案例-最長公共子序列(含表格填寫、問題理解、實例解決、例題答案).
遞歸案例-電路佈線(含表格填寫等超詳細，純人話講解).

通過對網上一些大神博主的文章的學習，加上自己的理解，簡單解決一下這個案例。

問題

將正整數n表示成一系列正整數之和： n=n₁+n₂+…+n_k， 其中n₁≥n₂≥…≥n_k≥1，k≥1。正整數n的這種表示稱爲正整數n的劃分。求正整數n的不同劃分個數。
對於這個問題，我們可以通過一個例子來理解它。
eg:正整數6的劃分
6
5+1
4+2；4+1+1
3+3；3+2+1；3+1+1+1
2+2+2；2+2+1+1；2+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1

問題分析

爲什麼要用遞歸

遞歸的定義：函數調用自身。
我認爲運用遞歸的條件就是：每一步進行的操作基本相同，並且問題規模逐漸減小。
通過上面的例子，我們可以看出，6的劃分個數=以5爲界限對6劃分的個數+(6),每一個子問題的操作基本相同，並且問題規模在不斷減小。

函數理解

我們可以用p(n,m)來表示以m爲界限（劃分的數不能超過m）對n進行劃分的個數。
有點難理解？
舉個例子
p（6，3）=
(3+3)；(3+2+1)；(3+1+1+1)
(2+2+2)；(2+2+1+1)；(2+1+1+1+1)
(1+1+1+1+1+1)
=7

情況分析

對於實際情況我們可能會遇到以下的情況：
1.m>n p(n,m) 理解：以m爲界限對n進行劃分，這種情況也就等於p(n,n)。例如以6爲界限和以7爲界限對6所得到的劃分都是一樣的。
eg:p(6,7)=p(6,6)。
2. n =1 p(1,m) 理解：以m爲界限對1進行劃分，那麼這種情況只有一種，也就是1。eg:p(1,2)=p(1,1)=1。
3.m=1 p(n,1) 理解：以1爲界限對n進行劃分，那麼這種情況也只有一種，也是1。
eg:p(3,1) = (1+1+1)=1。
4.m=n p(n,n) 理解：以n爲界限對n進行劃分。這種情況下它等於p(n,n-1)+1。
eg:p(6,6) = (6) + p(6,5)
5.m<n p(n,m) 理解：以m爲界限對n進行劃分。這種情況下它等於p(n,m-1)+p(n-m,m)¹。這個比較難理解。他可以理解爲以m爲界限對n的劃分=以m-1爲界限對n的劃分+含m時對n的劃分。

eg:p(6,3)=p(n,m-1)+p(n-m,m)
=p(6,2)+p(3,3)
={ (2+2+2),(2+2+1+1),(2+1+1+1+1),(1+1+1+1+1+1) }+{ (3+3),(3+2+1),(3+1+1+1) }

代碼演示

通過對不同情況的分析，我們寫出遞歸函數。
遞歸函數代碼：

public static int p(int n,int m)
 {
  if(n<=0)
   return 0;
  else if(n==1||m==1)
   return 1;
  else if(m>n)
   return p(n, n);
  else if(m==n)
   return 1+p(n, n-1);
  else
   return p(n, m-1)+p(n-m,m);
  
 }

主函數代碼：

 public static void main(String[] args) {
  System.out.println("6的整數劃分有"+p(6, 6)+"種");
  
 }

輸出結果

---

1. 用p(n-m,m)來表示是因爲：劃分中已經包含了m，所以只需要劃分n-m的數據。例如，p(6-4,4)這個劃分中第一個數爲4，以4爲劃分第一個數繼續劃分。
   第二個參數有些玄學，個人理解不深：
   在比較 n-m和m的大小的時候，產生了一個很有意思的現象：
   當n-m>m的時候，由於我們要保證最大值是6，所以我們必須得給他的劃分設置一個界限而這個界限的大小就是m
   當n-m<m的時候，我們不用考慮界限的選取，因爲假如界限選的很大都會成爲第一種情況而導致界限變成n-m ↩︎