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01揹包問題分析
01揹包的狀態轉換方程f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
- f[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重爲 j 的揹包中，可以取得的最大價值。
- Pi表示第i件物品的價值。
- 決策：爲了揹包中物品總價值最大化，第 i件物品應該放入揹包中嗎 ？
題目描述：
假設山洞裏共有a,b,c,d ,e這5件寶物（不是5種寶物），它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重爲10的揹包, 怎麼裝揹包，可以才能帶走最多的財富。
有編號分別爲a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重爲10的揹包，如何讓揹包裏裝入的物品具有最大的價值總和？
首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。
爲了敘述方便，用e2單元格表示e行2列的單元格，這個單元格的意義是用來表示只有物品e時，有個承重爲2的揹包，那麼這個揹包的最大價值是0，因爲e物品的重量是4，揹包裝不了。
對於d2單元格，表示只有物品e，d時,承重爲2的揹包,所能裝入的最大價值，仍然是0，因爲物品e,d都不是這個揹包能裝的。
同理，c2=0，b2=3,a2=6。
對於承重爲8的揹包，a8=15,是怎麼得出的呢？
根據01揹包的狀態轉換方程，需要考察兩個值，
一個是f[i-1,j],對於這個例子來說就是b8的值9，另一個是f[i-1,j-Wi]+Pi；
在這裏，
f[i-1,j]表示我有一個承重爲8的揹包，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值
f[i-1,j-Wi]表示我有一個承重爲6的揹包（等於當前揹包承重減去物品a的重量），當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值
f[i-1,j-Wi]就是指單元格b6,值爲9，Pi指的是a物品的價值，即6
由於f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大於f[i-1,j] = 9，所以物品a應該放入承重爲8的揹包
記憶化搜索
代碼
java代碼
import java.util.*;
public class DynamicProgramming {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
while (sc.hasNext()) {
/* 1.讀取數據 */
int number = sc.nextInt(); // 物品的數量
// 注意：我們聲明數組的長度爲"n+1",並另score[0]和time[0]等於0。
// 從而使得 數組的下標，對應於題目的序號。即score[1]對應於第一題的分數,time[1]對應於第一題的時間
int[] weight = new int[number + 1]; // {0,2,3,4,5} 每個物品對應的重量
int[] value = new int[number + 1]; // {0,3,4,5,6} 每個物品對應的價值
weight[0] = 0;
for (int i = 1; i < number + 1; i++) {
weight[i] = sc.nextInt();
}
value[0] = 0;
for (int i = 1; i < number + 1; i++) {
value[i] = sc.nextInt();
}
int capacity = sc.nextInt(); // 揹包容量
/* 2.求解01揹包問題 */
int[][] v = new int[number + 1][capacity + 1];// 聲明動態規劃表.其中v[i][j]對應於：當前有i個物品可選，並且當前揹包的容量爲j時，我們能得到的最大價值
// 填動態規劃表。當前有i個物品可選，並且當前揹包的容量爲j。
for (int i = 0; i < number + 1; i++) {
for (int j = 0; j < capacity + 1; j++) {
if (i == 0) {
v[i][j] = 0; // 邊界情況：若只有0個物品可以選，那隻能得到0。所以令V(0,j)=0
} else if (j == 0) {
v[i][j] = 0; // 邊界情況：若容量爲0，那得到的價值也只能爲0。所以令V(i,0)=0
} else {
if (j < weight[i]) {
v[i][j] = v[i - 1][j];// 包的容量比當前該物品體積小，裝不下，此時的價值與前i-1個的價值是一樣的，即V(i,j)=V(i-1,j)；
} else {
v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], v[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);// 還有足夠的容量可以裝當前該物品，但裝了當前物品也不一定達到當前最優價值，所以在裝與不裝之間選擇最優的一個，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝。
}
}
}
}
System.out.println();
System.out.println("動態規劃表如下：");
for (int i = 0; i < number + 1; i++) {
for (int j = 0; j < capacity + 1; j++) {
System.out.print(v[i][j] + "\t");
}
System.out.println();
}
System.out.println("揹包內最大的物品價值總和爲：" + v[number][capacity]);// 有number個物品可選，且揹包的容量爲capacity的情況下，能裝入揹包的最大價值
/* 3.價值最大時，包內裝入了哪些物品？ */
int[] item = new int[number + 1];// 下標i對應的物品若被選中，設置值爲1
Arrays.fill(item, 0);// 將數組item的所有元素初始化爲0
// 從最優解，倒推回去找
int j = capacity;
for (int i = number; i > 0; i--) {
if (v[i][j] > v[i - 1][j]) {// 在最優解中，v[i][j]>v[i-1][j]說明選擇了第i個商品
item[i] = 1;
j = j - weight[i];
}
}
System.out.print("包內物品的編號爲：");
for (int i = 0; i < number + 1; i++) {
if (item[i] == 1) {
System.out.print(i + " ");
}
}
System.out.println("----------------------------");
}
}
}
C++代碼
#include<iostream>
using namespace std;
#include <algorithm>
int w[5] = { 0 , 2 , 3 , 4 , 5 }; //商品的體積2、3、4、5
int v[5] = { 0 , 3 , 4 , 5 , 6 }; //商品的價值3、4、5、6
int bagV = 8; //揹包大小
int dp[5][9] = { { 0 } }; //動態規劃表
int item[5]; //最優解情況
void findMax() { //動態規劃
for (int i = 1; i <= 4; i++) {
for (int j = 1; j <= bagV; j++) {
if (j < w[i])
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
}
}
}
void findWhat(int i, int j) { //最優解情況
if (i >= 0) {
if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) {
item[i] = 0;
findWhat(i - 1, j);
}
else if (j - w[i] >= 0 && dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]) {
item[i] = 1;
findWhat(i - 1, j - w[i]);
}
}
}
void print() {
for (int i = 0; i < 5; i++) { //動態規劃表輸出
for (int j = 0; j < 9; j++) {
cout << dp[i][j] << ' ';
}
cout << endl;
}
cout << endl;
for (int i = 0; i < 5; i++) //最優解輸出
cout << item[i] << ' ';
cout << endl;
}
int main()
{
findMax();
findWhat(4, 8);
print();
return 0;
}