筛法快速求素数——leetcode计数质数

在算法竞赛中经常会遇到求质数的问题，这种题目一般都是要求出一定范围内[0,n]所有的质数或者质数的个数。最直接的思路就是根据质数的定义来判定一个数是不是质数（即一个数不能被除1和它本身外的任何数整除），如果我们需要对所有的数都这样进行判断，那么当n非常非常大的时候，这种算法的时间开销就会非常大，大概为O(n^2)。这个时候就可以使用筛法来快速地求出素数，筛法求素数的基本思路就是：除了0、1之外，所有的合数都是可以表示为比它小的一个素数的倍数，如果我们已知一个素数，那么我们可以把问题规定的范围内的所有该素数的倍数全都筛除，如果该范围内的所有的合数都被筛出，剩下的自然就都是素数了，时间复杂度大概为O(n)。

leetcode上面的一道题目：计数质数，一道典型求质数的题目，现在给出筛法求素数的解法：

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        if(n==0||n==1)return 0;
        int count=0;
        bool isprime[n];//用来标记是否是素数的数组
        memset(isprime,1,sizeof(isprime));//首先假设所有的数都是素数
        isprime[0]=isprime[1]=0;//0、1不是素数
        for(int i=2;i<n;i++){
            if(isprime[i]==1){//如果是素数
                count++;//计数加一
                for(int j=2*i;j<n;j+=i)//将该质数的倍数标记为合数
                    isprime[j]=0;
            }
        }
        return count;
    }
};

因为我们的算法相当于是从2到n遍历一遍，我们将整个isprime数组都初始化为1，也就是假设有的数开始都是质数，每当访问isprime[i]的时候，如果它是合数，那么在访问它之前它一定已经被比它小的因子素数给筛掉了，所以在这个for(int i=2;i<n;i++)的循环中，每次访问isprime数组的时候都能确定i是不是素数了。

仔细思考一下上面的这种算法：线性筛法虽然大大缩短了求素数的时间，但是实际上还是做了许多重复运算，比如2*3=6，在素数2的时候筛选了一遍，在素数为3时又筛选了一遍。那么我们如何做出优化呢？如果只筛选小于等于素数i的素数与i的乘积，既不会造成重复筛选，又不会遗漏。时间复杂度几乎是线性的。

下面给出优划过后的筛法代码：

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        if(n==0||n==1)return 0;
        int count=0;
        bool isprime[n];//用来标记是否是素数的数组
        vector<int> su;//用来保存已经确定的素数
        memset(isprime,1,sizeof(isprime));//首先假设所有的数都是质数
        isprime[0]=isprime[1]=0;//0、1不是素数
        for(int i=2;i<n;i++){
            if(isprime[i]==1){//如果是素数
                count++;//计数加一
                su.push_back(i);
            }
            for(int j=0;j<su.size()&&i*su[j]<n;j++)
                isprime[su[j]*i]=0;//小于i的所有的素数与i相乘得到的都是合数
        }
        return count;
    }
};

可以看出优化之后的算法需要额外的空间存放vector<int> su来保存已经确定的素数，所谓空间换时间，这样的优化在刚才的基础上又减少了不少的时间复杂度。