常用概率分佈的矩母函數與特徵函數的推導

一、定義與性質

$設X爲隨機變量，I是一個包含0的(有限或無限的)開區間，對任意t∈I，期望Ee^{tx}存在$
$則稱函數M_{X}(t)=E(e^{tX})=\int_{-\infin}^{+\infin}e^{tx}dF(x),t∈I爲X的矩母函數$
$設X爲任意隨機變量，稱函數\phi_{X}(t)=E(e^{itX})=\int_{-\infin}^{+\infin}e^{itx}dF(x)爲X的特徵函數$
$一個隨機變量的矩母函數不一定存在，但是特徵函數一定存在。$
$隨機變量與特徵函數存在一一對應的關係$

二、離散型隨機變量的分佈

1、離散型均勻分佈(Discrete uniform distribution)

$DU(a,b)分佈函數爲F(k;a,b)=\frac{\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}$
$則矩母函數M(t)=\sum_{k=a}^{b} e^{tk}P(x=k)$
$=(\sum_{k=a}^{b} e^{tk})\frac{1}{b-a+1}$
$=\frac{e^{at}-e^{(b+1)t}}{(1-e^{t})(b-a+1)}$
$特徵函數\phi(t)=\sum_{k=a}^{b} e^{itk}P(x=k)$
$=(\sum_{k=a}^{b} e^{itk})\frac{1}{b-a+1}$
$=\frac{e^{ait}-e^{(b+1)it}}{(1-e^{it})(b-a+1)}$

2、伯努利分佈/兩點分佈(Bernoulli distribution)

$B(1,p)滿足P(x=1)=p, P(x=0)=1-p=q$
$M(t)=pe^{t}+1-p$
$\phi(t)=pe^{it}+1-p$

3、二項分佈(Binomial distribution)

$B(n,p)滿足f(k;n,p)=P(x=k)=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k} (n爲整數)$
$因爲服從二項分佈的變量可以看作n個獨立相同的服從伯努利分佈的變量之和$
$因此M(t)=(pe^{t}+1-p)^{n}$
$\phi(t)=(pe^{it}+1-p)^{n}$

4、負二項分佈(Negative binomial distribution)

$NB(r,p)滿足f(k;r,p)=C_{k+r-1}^{k}p^{k}(1-p)^{r} (r爲實數)$

三、連續型隨機變量的分佈